Решение системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений

                   (2.8)

 Введя в рассмотрение матрицы

, , .

систему (1) можно записать в виде матричного уравнения

              .                         (2.9)

Система называется обусловленной (не вырожденной, не особенной), если определитель системы DA ¹ 0, и тогда система (2.8) имеет единственное решение.

Система называется не обусловленной (вырожденной, особенной), если DA = 0, и тогда система (2.8) не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

На практике коэффициенты системы a_ij и свободные члены b_i часто задаются приближенно, с некоторой неустранимой погрешностью. Поэтому, кроме существования и единственности решения СЛУ, важно еще знать, как влияет такая погрешность на получаемое решение.

Система называется плохо обусловленной, если неустранимая погрешность оказывает сильное влияние на решение; у таких систем определитель близок, но не равен 0.

Рассмотрим пример плохо обусловленной системы.

Дана система  

Решение ;

Пусть b₂ имеет неустранимую погрешность %.

Если b₂ = 1,01, то

Если b₂ = 0,99, то

Решение изменяется очень сильно, следовательно, система плохо обусловлена, о чем говорит значение её определителя.

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию обусловленности СЛУ на примере системы двух уравнений с двумя неизвестными:

a₁₁ x₁+ a₁₂ x₂ = b₁                уравнение (I)

a₂₁ x₁+ a₂₂ x₂= b₂                уравнение (II)

Каждому уравнению в плоскости (x₁,x₂) соответствует прямая, а точка пересечения этих прямых является решением этой системы. Если ΔA = 0, то наклоны прямых одинаковы, и они либо параллельны (т.е. не имеют решения), либо совпадают (имеют бесконечное множество решений). Если ΔA ¹ 0, то прямые имеют единственную точку пересечения.

Рисунок 2.4. Геометрическая иллюстрация обусловленности СЛУ.

Но если система плохо обусловлена (∆А≈0), даже незначительное изменение одного из коэффициентов приведет к сильному изменению решения системы, т.к. прямые почти параллельны.

Для решения СЛУ широко применяться прямые и итерационные методы. Область применения некоторых из них показана в таблице.

Прямые