Аппроксимация функции. Метод наименьших квадратов
Пусть для неизвестной функции в точках экспериментальным путем получены значения . Аппроксимация, так же как и интерполяция, используется для построения функций по набору данных. Но если в случае интерполяции функция должна строго совпадать с данными в узлах сетки , то аппроксимационная функция должна лишь в некотором смысле приближать данные. Аппроксимация опытных данных – это метод, основанный на замене экспериментально полученных данных аналитической функцией наиболее близко проходящей или совпадающей в узловых точках с исходными значениями (данными полученными в ходе опыта или эксперимента). В связи с этим возникает задача приближения таблично заданной функции многочленом , который имеет не слишком высокую степень и дает в некотором смысле разумную точность аппроксимации. Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов. В методе наименьших квадратов за меру отклонения многочлена от функции принимается сумма квадратов их отклонений . Задача состоит в том, чтобы в аппроксимирующем многочлене подобрать коэффициенты так, чтобы минимизировать Так как коэффициенты являются независимыми переменными функции , то необходимым условием минимума является равенство нулю всех частных производных , , …, . Приравнивая нулю эти частные производные получим систему уравнений
После преобразования система принимает вид (2.5) Определитель этой системы отличен от нуля, поэтому эта система имеет единственное решение . Нахождение параметров линейной функции Пусть экспериментальные данные надо представить линейной функцией: Требуется подобрать такие значения a и b, для которых функция (2.6) будет минимальной. Необходимые условия минимума функции (2.6) сводятся к системе уравнений: После преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: решая которую, находим искомые значения параметров a и b. Нахождение параметров квадратичной функции Если аппроксимирующей функцией является квадратичная зависимость то её параметры a, b, c находят из условия минимума функции: Условия минимума функции (3.6) сводятся к системе уравнений:
После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: при решении которой находим искомые значения параметров a, b и c. Рисунок 2.3. Пример представления исходных данных и аппроксимационных функций
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (295)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |