Обобщенный МНК для корректировки гетероскедастичности

При нарушении гомоскедастичности и наличии автокорреляции ошибок рекомендуется традиционный МНК заменять обобщенным методом (методом GLS).

Обобщенный МНК применяется к преобразованным данным и позволяет получать оценки, которые обладают не только свойством несмещенности, но и имеют меньшие выборочные дисперсии. Специфика обобщенного МНК применительно к корректировке данных при автокорреляции остатков будет рассмотрена далее.

Среднее значение остаточных величин равно 0, дисперсия их не остается неизменной для разных знаний фактора, а пропорциональна величине К_i:

- дисперсия ошибки при конкретном значении факторов;

- постоянная дисперсия ошибки при соблюдении предпосылки о гомоскедастичности остатков;

К_i – коэффициент пропорциональности, меняющийся с изменением величины фактора, что и обуславливает неоднородность дисперсии.

- неизвестна, а в отношении величины К выдвигаются определенные гипотезы, характеризующие структуру гетероскедастичности.

при ,

В ней остаточные величины гетероскедастичны. Предполагая в них отсутствие автокорреляции, можно перейти к уравнению с гомоскедастичными остатками, поделив все переменные, зафиксированные в ходе i-го наблюдения на .

Следовательно, от регрессии у по х мы перейдем на новых переменных: и . Уравнение регрессии примет вид:

Исходные данные для данного уравнения будут иметь вид:

,

По отношению к обычной регрессии уравнение с новыми, преобразованными переменными представляет собой взвешанную регрессию, в которой переменные у и х взяты с весами .

Оценка параметров нового уравнения с преобразованными переменными приводит к взвешанному МНК, для которого необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений.

Получим следующую систему уравнений:

Если преобразованные переменные х и у взять в отклонениях от средних уровней, то коэффициент регрессии b можно определить как:

При обычном применении МНК к уравнению минимальной регрессии для переменных в отклонениях от средних уровней коэффициента регрессии b определяется по формуле:

При использовании обобщенного МНК с целью корректировки гетескедастичности коэффициент регрессии b представляет собой взвешанную величину по отношению к обычному МНК с весами 1/К.

Аналогичный подход возможен не только для уравнения парной, но и для множественной регрессии.

Предположим, что рассматривается модель вида:

, для которой дисперсия остаточных величин оказалась пропорциональна - представляет собой коэффициент пропорциональности, принимающий разложение знания для соответствия i знания факторов х₁ и х₂. Ввиду того, что , рассматриваемая модель примет вид:

, где ошибки гетероскедастичны.

Для того, чтобы получить уравнение, где остатки гомоскедастичны, перейдем к новым преобразованным переменным, разделим все члены исходного уравнения на коэффициент пропорциональности К. Уравнение с преобразованными переменными составит:

Это уравнение не содержит свободные члены. Вместе с тем, найдя переменные в новом преобразованном виде и применяя обычный МНК к ним, получим иную спецификацию модели:

Параметры такой модели зависят от концепции, принятой для коэффициента пропорциональности К. В эконометрических исследованиях довольно часто выдвигается гипотеза, что остатки пропорциональны значениям факторов. Так, если в уравнении предположить, что , т.е. K= x₁ и , то обобщенный МНК предполагает оценку параметров следующего трансформируемого уравнения:

Если предположить, что ошибки пропорциональны х_р, то модель примет вид:

Применение в этом случае обобщенного МНК приводит к тому, что наблюдения с наименьшими знаниями преобразованных переменных имеют при определении параметров регрессии относительно больший вес, чем с первоначальными переменными. Вместе с тем, следует иметь в виду, что новые преобразованные переменные получают новое экономическое содержание и их регрессия имеет иной смысл, чем регрессия по исходным данным.