Происхождение сферической геометрии

Им. М.В. Ломоносова»

Математический факультет

Кафедра математического анализа и геометрии

 

 

Квалификационная работа

 

 

Применение информационных технологий

при изучении сферической геометрии.

 

Выполнила студентка:

Катышева Н.Г.

Научный руководитель:

Старший преподаватель

Токаревская С.А.

 

Архангельск

2005

Оглавление

Введение.. 3

Глава 1. Сферическая геометрия.. 4

§1 Происхождение сферической геометрии. 4

§2 Основные понятия сферической геометрии. 8

2.1. Сфера, большая и малая окружности. 8

2.2. Расстояние между точками. 11

2.3. Полюс и поляра. 12

2.4. Угол на сфере. 12

2.5. Понятие движение. 16

2.6. Предмет сферической геометрии. 17

2.7. Принцип двойственности. 18

§3 Сферические треугольники. 20

3.1. Треугольники и двуугольники на сфере. 20

3.2. Полярные треугольники. 21

3.3. Равенство сферических треугольников. 24

3.4. Равнобедренные сферические треугольники. 25

3.5. Большая окружность как кратчайшая. 26

3.6. Площадь сферического треугольника. 31

§4 Сферические многоугольники. 34

4.1. Понятие сферического многоугольника и его свойства. 34

4.2. Площадь сферического многоугольника. 37

§5 Малые окружности. 37

§6 Геометрические места точек на сфере. 40

§7 Тригонометрия. 43

7.1. Сферическая теорема косинусов. 43

7.2. Сферическая теорема синусов. 46

7.3. Формулы пяти элементов. 48

7.4. Двойственная теорема косинусов. 49

7.5. Формулы котангенсов. 51

7.6. Случай прямоугольного сферического треугольника. 52

7.7. Решение сферических треугольников. 54

Глава 2. Дистанционное обучение.. 58

§1 Понятие и определение дистанционного обучения. 58

§2 Принципы и особенности дистанционного обучения. 60

§3 Процесс дистанционного обучения. 64

§4 Основные модели дистанционного обучения. 65

§5 Роль преподавателя. 67

§6 Контроль. 69

§7 Дистанционный курс по «Сферической геометрии». 74

Приложение.. 75

Заключение.. 95

Литература.. 96

Введение

 

Тема моей квалификационной работы «Применение информационных технологий при изучении сферической геометрии». Так как на смену XX веку, именовавшемуся индустриальным, пришел XXI, со своим названием – информационный; на мой взгляд, возрастает необходимость в расширении доступа к образованию. Нужно учитывать, насколько существующие системы образования способны отвечать потребностям современного общества, а также рассматривать альтернативы, предоставляемые для обучения новыми технологиями. В настоящее время создаются электронные учебники и дистанционные курсы к некоторым учебным дисциплинам. Именно в связи с этим мною была выбрана такая тема. А так как в основном курсе геометрии ВУЗа практически не уделяется внимания геометрии на сфере, работа над дистанционным курсом сочетается с изучением новой для меня темы.

Данная работа содержит две главы и приложение. Первая глава раскрывает ключевые исторические аспекты возникновения и развития, основные понятия и теоремы сферической геометрии; вторая  посвящена дистанционному обучению. Она включает в себя обзор основных подходов к определению понятия «дистанционного обучения», а также принципы и особенности построения дистанционных курсов, их достоинства, недостатки и основные модели. Завершает главу описание дистанционного курса по сферической геометрии, который является результатом моей работы и, наряду с задачами, входит в приложение.

Основные цели, которые поставлены данной работой, могут быть сформулированы следующим образом:

1. Изучить тему «Сферическая геометрия».

2. Составить задачник к курсу «Сферическая геометрия».

3. Создание дистанционного курса по изучению темы «Сферическая геометрия».

Глава 1. Сферическая геометрия

Происхождение сферической геометрии

 

Первой по времени геометрией, отличной от евклидовой, была сферическая геометрия, или сферика, как её называли древние. Сферика возникла позже, чем евклидова геометрия плоскости и пространства. Основными стимулами для возникновения геометрии плоскости и пространства была необходимость измерения площадей полей и других плоских фигур и вместимости сосудов и амбаров различной формы, т.е. объёмов различных тел. Основным стимулом для возникновения сферики было изучение звёздного неба.

Наблюдение небесных светил производилось ещё в Древнем Египте и Вавилоне, прежде всего с целью установления календаря. Мы обязаны египтянам разделением суток на 24 часа. Вклад вавилонян в развитии астрономии был более значителен: наблюдения затмений и звёзд первых веков «эры Набонасара», начавшейся в VIII в. до н. э. Древние греки познакомились с вавилонской астрономией по крайней мере в IV в. до н. э., когда первоначальные названия планет были заменены названиями планет по вавилонскому образцу, латинскими переводами которых являются общепринятые нами названия. Астрономия, изложенная в «Альмагесте» Птолемея, была результатом продолжавшегося несколько веков развития науки, впитавшей традиции как вавилонских астрономов, так и греческих геометров.

Сферика Автолика. Первым античным математическим сочинением, сохранившимся до наших дней, является книга «О движущейся сфере» Автолика, жившего в конце IV в. до н. э. Предметом исследования этой книги является небесная сфера, рассматриваемая, однако, в весьма абстрактном виде. Книга Автолика состоит из 12 предложений. Определения относятся к равномерному движению. В предложении 1 доказывается, что если сфера равномерно движется вокруг оси, то все её точки, не лежащие на оси, описывают параллельные круги, имеющие те же полюсы, что и сфера, а плоскости этих кругов перпендикулярны оси сферы. Под кругами здесь понимаются плоские фигуры, ограниченные окружностями, а под выражением «точка описывает круг» понимается то, что точка пробегает окружность круга.

Доказательства большинства предложений этого трактата основаны на применении движения: предполагается, что утверждение предложения неверно, производится поворот сферы и обнаруживается, что предложение противоречит тому, что получилось в результате поворота сферы.

Сферика Феодосия. Первое дошедшее до нас систематическое изложение сферической геометрии содержится в «Сферике» Феодосия, жившего во II-I вв. до н. э. «Сферика» Феодосия состоит из трёх книг, в первой из которых шесть определений и 23 предложения, во второй – одно определение и 23 предложения, в третьей – 14 предложений.

Определение 1 Феодосия: «Сфера есть телесная фигура, содержащая внутри одной поверхности, такая, что все прямые, падающие на неё из одной точки внутри фигуры, равны между собой».

Большинство предложений «Сферики» Феодосия – стереометрические теоремы и задачи на построение. Когда Феодосий говорит о пересечении кругов на сфере под некоторым углом или о параллельности этих кругов, он имеет в виду пересечение под данным углом или параллельность их плоскостей; когда он говорит о рассечении кругами на сфере друг друга пополам, он имеет в виду рассечение пополам плоских фигур.

Наряду со стереометрическими предложениями, сформулированные в терминах геометрии на поверхности сферы. Например, предложения 20-21 из I книги – задача о построении большого круга на сфере, проходящего через две точки ее поверхности, и задача о построении полюса данного круга на сфере.

Сферика Менелая. Значительно более развитую сферическую геометрию можно найти в трактате «О сфере» Менелая, жившего в конце I в. н. э. Сочинение Менелая сохранилось только в арабском переводе в нескольких обработках, лучшими из которых являются обработки Абу Насра ибн Ирака и Насир ад-Дина ат-Туси. «Сферика Менелая состоит из трёх книг, содержащих соответственно 39, 21 и 25 предложений. Во введении к книге I Менелай даёт определение сферического треугольника («трёхсторонней фигуры»), т.е. части поверхности, ограниченной тремя дугами больших кругов, меньшими полукругами, и углов сферического треугольника. Если большинство предложений «Сферики» Феодосия были стереометрическими, сочинение Менелая посвящено геометрии на поверхности сферы, трактуемой по аналогии с планиметрией Евклида. Например, предложение 1 книги I – задача о проведении дуги большого круга под данным углом к данной дуге большого круга; предложения 2 и 3 книги I – теорема о равенстве углов при основании равнобедренного сферического треугольника и обратная ей. Из предложений не совпадающих с предложениями планиметрии, отметим предложения 10 и 11, из которых вытекает, что сумма углов сферического треугольника больше двух прямых углов.

«Предложение десятое. Если две стороны трёхсторонней фигуры вместе меньше полукруга, то внешний угол, примыкающий к одной из этих сторон, больше того противолежащего ему внутреннего угла, который является одним из двух углов, прилежащих к оставшейся стороне; если две стороны вместе больше полукруга, то внешний угол меньше противолежащего ему внутреннего угла; а если две стороны вместе равны полукругу, то внешний угол равен противоположному ему внутреннему».

«Предложение одиннадцатое. Внешний угол всякой трёхсторонней фигуры меньше обоих противолежащих ему внутренних углов.

Теоремы Менелая: Особую роль в истории сферической геометрии и тригонометрии сыграло предложение 1 книги III сочинения Менелая, в которой доказывается как плоский, так и сферический случай теоремы, называемой в настоящее время «теоремой Менелая» или «теоремой о полном четырёхстороннике». Полным четырёхсторонником называется плоский или сферический четырёхугольник, пары противоположных сторон которого продолжены до пересечения.

Сферическая теорема Менелая изложена у Птолемея следующим образом: «Опишем на поверхности сферы дуги больших кругов так, чтобы проведённые к двум начерченным дугам АВ и АС две другие дуги ВЕ и СD пересекались в точке G; пусть каждая из этих дуг меньше полуокружности; то же будем предполагать и для всех таких построений. Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой СЕ к прямой под удвоенной ЕА составлено из отношения прямой под удвоенной CG к прямой под удвоенной GD и отношения прямой под удвоенной DB к прямой под удвоенной ВА.»

Площадь сферического треугольника и многоугольника у Жирара. Выражение площади сферического треугольника и многоугольника через их угловые избытки впервые появилось в печати в статье «О мере поверхности сферических треугольников и многоугольников, открытой вновь», опубликованной в виде приложения к «Новому открытию в алгебре» фламандского математика Альбера Жирара.(1595-1632).

Основные теоремы сферической тригонометрии были открыты учеными средневекового Востока. Соотношения, выражаемые теоре­мой косинусов, были установлены сирийским математиком и астрономом IX века ал-Баттани, выходцем из семьи звездопоклонников - сабиев, у которых в течение многих веков сохранялись вавилонские астрономические традиции. Сферическая теорема сину­сов была открыта почти одновременно среднеазиатскими математи­ками и астрономами X века Ибн Ираком из Хорезма, Абу-л-Вафой из Хорасана и ал-Ходжанди из Ходжента. Соотношения, выражаемые двойственной теоремой косинусов, были установлены (с помощью полярного треугольника) в XIII веке работавшим в Азербайджане Насир-ад-дином ат - Туси, давшим первое полное изложение всей системы сферической тригонометрии.

Основные понятия сферической геометрии.