Полярные треугольники.

Всякому сферическому треугольнику АВС можно поставить в соответствие другой сферический треугольник А'В'С', вершины которого являются полюсами сторон ВС, СА, АВ сферического треугольника АВС, лежащими от этих сторон по ту же сторону, что и соответственно вершины А, В, С (рис. 19). Будем называть сферический треугольник А'В'С' полярным по отношению к сферическому треугольнику АВС.

Рис 19

Если сферический треугольник А'В'С' является полярным по отношению к сферическому треугольнику АВС, то и сферический треугольник АВС полярен по отношению к сферическому треугольнику А'В'С'. В самом деле, так как точка В' является полюсом стороны АС, то точка В' полярно сопряжена с точками А и С (рис. 19). Так как точка С' является полюсом стороны АВ, то точка С' полярно сопряжена с точками А и В. Но так как точка А полярно сопряжена с точками В' и С' стороны В'С', то она является полюсом стороны В'С'. При этом, так как точки А и А' лежат по одну сторону от стороны ВС, то они лежат и по одну сторону и от стороны В'С'. Также доказывается, что точки В и С тоже являются полюсами сторон С'А' и А'В' и лежат по ту же сторону от этих сторон, что и точки В'С', т.е. сферический треугольник АВС полярен по отношению к сферическому треугольнику А'В'С'.

Обозначим точки пересечения больших окружностей АВ и АС со стороной В'С' через L и М, точки пересечения больших окружностей ВС и ВА со стороной А'С' через N и Р и точки пересечения больших окружностей СА и СВ со стороной А'В' через Q и R (рис. 19). Тогда если величины углов САВ, АВС и ВСА обозначить через А, В и С, а радиус сферы – через r, то дуги больших окружностей LM, NP и QR соответственно равны Аr, Br, Cr. Далее, так как дуги В'М, LC', C'P, NA', A'R, QB' соединяют полярно сопряжённые точки, то они равны . Поэтому, если все три угла А, В, С  , то дуги B'L и MC', C'N и PA', A'Q и RB', дополняющие дуги Аr, Br, Cr до , соответственно равны , , . Таким образом, стороны В'С', С'А' и А'В' полярного треугольника в этом случае равны , , . Тот же результат совершенно аналогично доказывается и для случаев, когда углы А, В или С больше . Поэтому стороны треугольника, полярного по отношению к сферическому треугольнику АВС, соответственно равны , , . Отсюда, если мы обозначим эти стороны через а', b', с', мы получим, что  т.е. углы треугольника, полярного по отношению к сферическому треугольнику со сторонами а', b', с', соответственно равны .

Переход от данного сферического треугольника к треугольнику полярному относительно данного позволяет, зная свойства сторон первого треугольника, выводить из них свойства углов второго. Таким путём получается следующая теорема:

Теорема 1. Во всяком сферическом треугольнике:

1) каждый угол, увеличенный на два прямых, больше суммы двух других углов;

2) сумма трёх углов больше двух прямых и меньше шести прямых.

Сферический треугольник, совпадающий со своим полярным треугольником, называется автополярным треугольником. Так как все вершины автополярного треугольника полярно сопряжены, все стороны этого сферического треугольника равны четверти большой окружности, откуда вытекает, что все три угла этого сферического треугольника прямые. На рис. 20 изображён автополярный треугольник АВС.

Рис 20