Решение сферических треугольников.

Выведенные нами тригонометрические соотношения позволяют «решить сферический треугольник» по любым трем из его элементов (сторон и углов). Если нам даны три стороны сферического треугольника, то по формуле (7) теоремы косинусов находим

и аналогично по формулам (8) и (9) находим соs В и соs С.

Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол между ними, например стороны b, с и угол А, то сторону а найдем но формуле (7) теоремы косинусов. Зная все три стороны сфери­ческого треугольника, найдем его остальные углы, как указано выше.

Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол, лежащий против одной из них , например стороны а, bи угол A, то по формуле (10) теоремы синусов находим

   .

Заметим, что эта формула даёт для В два значения, дополняю­щих друг друга до p; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными сто­ронами и равными углами, лежащими против одной из этих сторон, не обязательно равны, а возможен случай, когда углы этих треуголь­ников, лежащих против другой стороны, дополняют друг друга до л, как мы это видели, рассматривая четвёртый признак равенства сфери­ческих треугольников.

Для определения стороны с и угла С проведём через вершину С дугу большой окружности АВ. Если эти большие окружности пересекаются в точке D, то рассмотрим прямоугольные сферические треугольники АСD и ВСD (рис. 34). В этих треугольниках известны гипотенузы b и а и углы при вершинах А и В. Второй катет каждого из этих треугольников определяется по первым формулам тангенсов (31) или (32), а угол при вершине С определится по формуле котангенсов (37). 

Рис.34

Сторона с и угол C сферического треугольника АВС являются суммами найденных сторон или углов прямоугольных треугольников, если точка D лежит на стороне АВ, и разностям и этих сторон или углов, если точка Dлежит на продолжении стороны АВ. Именно, если оба угла A,В в исходном треугольнике АВС являются острыми или оба тупыми, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку C, пе­ресекает окружность АВ в двух точках, одна из которых лежит на дуге АВ; эту точку и следует принять за D в рассматриваемом случае (рис. 34). Таким образом, углы при вершинах А и В в прямоугольных треугольниках АСD и ВСD сов­падают с углами А и В исходного треугольника АВС, а сторона с и угол С треугольника АВС являются суммами найденных нами сторон или углов прямоугольных треугольников АСD и ВСD. Если же в треугольнике АВС один из углов A, В острый, а второй—ту­пой, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку С, пересекает окружность АВ в двух точках, ни одна из которых не ле­жит на дуге АВ. В этом случае за D можно при­нять

любую из этих то­чек, например ту, кото­рая лежит на продолжении стороны АВ за точку В (рис. 35).

Рис.35

Таким образом, угол при вершине А в ∆АС D равен углу А треугольника АВС, а угол при вершине В в ∆ВСD равен p — В. При этом сторона с и угол С треугольника АВС являются разностями сторон А D, ВD или углов при вершине С треугольников АС D и ВС D. Наконец, если один из углов A, В (например, А) прямой, то треугольник АВС прямоугольный, и для нахождения стороны с и угла С можно в атом случае воспользоваться формулами (28), (31).

Если нам даны три угла сферического треугольника, то по фор­муле (23) двойственной теоремы косинусов находим

и аналогично по формулам (24) и (25) находим  и .

Если нам даны два угла сферического треугольника и сторона между ними, например сторона а и углы Bи C, то угол А найдем но формуле (23) двойственной теоремы косинусов. Зная все три угла сферического треугольника, найдем его остальные стороны, как указано выше.

Если, наконец, нам даны два угла сферического треугольника и сторона, лежащая против одною из них, например углы А и В и сторона а, то по формуле (10) теоремы синусов находим

      .

Заметим, что эта формула дает для bдва значения, дополняю­щих друг друга до pr; это соответствует тому, что в общем слу­чае два сферических треугольника с двумя соответственно равными углами и равными сторонами, лежащими против одного из этих углов, не обязательно равны, а возможен случай, когда стороны этих тре­угольников, лежащие против другого угла, дополняют друг друга до pr, как мы это видели, рассматривая V признак равенства сфе­рических треугольников. Сторону с и угол С по углам А, В и сто­ронам а, b мы найдем, как указано выше.

Глава 2. Дистанционное обучение