Площадь сферического многоугольника.

Соединим одну из вершин выпуклого сферического n-угольника дугами больших окружностей со всеми другими вершинами этого многоугольника, получим n-2 сферических треугольника. Площадь выпуклого сферического n-угольника равна сумме площадей этих n-2 сферических треугольников. Поэтому, так как сумма углов всех n-2 сферических треугольников равна сумме углов сферического n-угольника, площадь S_n выпуклого сферического n-угольника равна

S_n= r²( å _n-( n-2) p),

где å _n-сумма всех его внутренних углов.

    Эта формула остаётся справедливой и для невыпуклых сферических многоугольников.

Малые окружности

Сечение сферы плоскостью, не проходящей через её центр, является малой окружностью. Так как все три точки сферы определяют единственную плоскость, то через всякие три точки сферы, не лежащие на большой окружности, можно провести единственную малую окружность. Действительно, пусть А, В, С – три точки данной сферы, не лежащие на одной большой окружности. Через них проходит единственная плоскость АВС. Плоскость АВС пересекает сферу, и притом по малой окружности, проходящей через точки А, В, С, так как данные точки не лежат по условию на одной большой окружности. Эта малая окружность единственна, так как плоскость АВС единственная.

Так как плоскость делит пространство на две области, то малая окружность делит сферу на две области, называющиеся сферическими сегментами. Та из этих областей, которая не выходит за пределы полусферы, называется сферическим кругом.

Так как при повороте вокруг диаметра сферы, перпендикулярного к плоскости, высекающей из сферы малую окружность, эта окружность переходит в себя (ибо этот перпендикуляр является осью рассматриваемой окружности), то сферическое расстояние точек окружности от концов перпендикулярного ей диаметра сферы, постоянна. Обратно, геометрическое место точек сферы, равноотстоящих от одной её точки, переходит в себя при повороте вокруг диаметра, проходящего через эту точку, т.е. является малой окружностью (высекаемой из сферы плоскостью, перпендикулярной этому диаметру). Таким образом, малая окружность является геометрическим местом точек сферы, равноотстоящих от одной точки сферы; эти точки равно отстоят и от диаметрально противоположной ей точки. Та из этих точек, для которой сферическое расстояние её от точек малой окружности меньше , называется сферическим центром малой окружности, а сферическое расстояние точек малой окружности до её сферического центра называется сферическим радиусом малой окружности. Очевидно, что сферический центр малой окружности принадлежит ограничивающему его сферическому кругу. Полюсы больших окружностей можно также рассматривать как сферические центры этих окружностей; сферическим радиусом большой окружности следует считать число .

Так как большие окружности, проходящие через центр малой окружности, перпендикулярны поляре центра малой окружности, то расстояние от точек малой окружности до этой большой окружности равно дополнению сферического радиуса окружности до . Обратно, геометрическое место точек сферы, равноотстоящих от одной её большой окружности и расположенных по одну сторону от неё, является геометрическим местом точек, равноотстоящих от одного её полюса, т.е. является малой окружностью. Таким образом, малая окружность является геометрическим местом точек сферы, равноотстоящих от одной большой окружности и расположенных по одну сторону от неё. Эта большая окружность называется базой малой окружности, а расстояние точек малой окружности до базы называется параметром малой окружности. Очевидно, что сферический радиус R и параметр Р малой окружности составляют в сумме . На рис. 28 изображены центр и база малой окружности.

Рис. 28

Пусть центр малой окружности в её плоскости – точка Q, радиус её – число ρ, а М – произвольная точка этой окружности (рис.28), т.е. ОМ=r, QM=ρ, а ÐМОQ= . Тогда из прямоугольного треугольника OQM мы найдём, что ρ= , т.е. длина окружности сферического радиуса R равна

.

С другой стороны, так как , то длина окружности параметра Р равна

.

Так как сферический круг, ограничиваемый окружностью сферического радиуса R, представляет собой сферический сегмент высоты

,

 а площадь всякого сферического слоя высоты h равна 2prh, где r – радиус сферы, то площадь сферического круга радиуса R равна

.