Геометрические места точек

1. Даны три точки А, В и С, лежащие на одной сфере. Найти геометрическое место таких точек М, что сферические треугольники МАВ и МАС равновелики. Предполагается, что эти два треугольника имеют одинаковое расположение.

2. Найти внутри сферического треугольника такую точку, чтобы большие окружности, соединяющие её с вершинами треугольника, делили площадь треугольника на три части, две из которых были бы равновелики, а третья равнялась удвоенной площади каждой из двух первых.

Решение: Пусть внутри данного сферического треугольника АВС требуется найти точку М (см. рис.), для которой S_MBC=2S_MCA=2S_MAB.

При этом будем иметь:     

                    S_MBC= S_ABC                                   (1)

                    S_MCA= S_ABC                                              (2)

В силу теоремы Лекселля, геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию (1) и лежащих внутри треугольника АВС, есть некоторая дуга малой окружности. Строим на стороне АВ треугольника АВС такую точку D, что дуга CD делит его на две равновеликие части, и проводим малую окружность через точку D и через точки, диаметрально противоположные точкам В и С.

Рис.10

Точно также геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию (2) и лежащих внутри треугольника АВС, есть некоторая дуга малой окружности. Аналогично на стороне АВ найдём такую точку Е, что

S_ACE= S_ABC,

и проведя малую окружность через точку Е и через точки диаметрально противоположные точкам С и А.

Искомая точка М есть точка пересечения обоих построенных геометрических мест.

3. Найти на данной окружности такую точку, чтобы дуги больших окружностей, соединяющих её с двумя данными точками той же окружности, образовали между собой данный угол.

Решение: Пусть С - данная окружность (рис. 11 и 12), О - её полюс, А и В - данные точки этой окружности и М — искомая точка той же окружности.

                     Рис. 11                                                   Рис. 12

Введём обозначения ÐОАВ=a и ÐАМВ=f. Сумма углов сферического треугольника АМВ будет при этом равна 2a+2f, как это следует из равенства углов при основании в каждом из равнобедренных треугольников ОАВ, ОАМ и ОВМ. Это выражение для суммы углов будет справедливо как в том случае, когда точка О лежит внутри ∆МАВ (рис. 11), так и в том случае, когда она лежит вне этого треугольника (рис. 12). Так как сумма углов ∆АВМ должна иметь известную величину 2a+2f, то и его площадь должна иметь вполне определенную величину. Следовательно, точка М должна лежать (по теореме Лекселля) на одной из двух вполне определенных дуг, имеющих своими концами точки, диаметрально противоположные точкам А и В. Точки пересечения этих двух дуг с окружностью С и будут искомыми.

Чтобы построить теперь эти искомые точки, достаточно, в силу сказанного, решить следующую задачу:

Построить геометрическое место точек М, образующих с двумя данными точками А и В сферический треугольник МАВ, имеющий данную сумму углов (или, что сводится к тому же, данную площадь).

Как уже было отмечено, искомое геометрическое место точек М состоит из двух дуг малых кругов, имеющих своими общими концами точки А' и В', диаметрально противоположные точкам А и В. Если О - полюс одного из этих малых кругов (рис. 13), то будем иметь (теорема 8):

ÐВ'А'О =  (ÐВ'А'М + ÐMB'А' — ÐA'MB') =  (2d — ÐВАМ + 2d —ÐMBA — ÐАМВ) = 2d —  (ÐBAM + ÐMBA + ÐAMB).

Таким образом, известны равные между собой углы В'А'О и А'В'О, и точку О можно построить.

Рис. 13

Если угол В'А'О, определённый, как указано, окажется отрицательным, то это значит, что центр О каждой из дуг, входящих в состав искомого геометрического места, лежит с этой дугой по разные стороны от большого круга АВ.

4. Если большая окружность перемещается по сфере, оставаясь касательной к данной малой окружности С, то тот из полюсов этой большой окружности, который лежит в той же полусфере, что и окружность С, описывает малую окружность С′, которая называется полярной по отношению к С; зависимость между окружностями С и С′ взаимная, т.е. окружность, полярная по отношению к С′, есть данная окружность С.

Решение: Пусть С — данная малая окружность сферы (см. рис.14) и Р - тот из его полюсов, который лежит во внутренней области. Большая окружность сферы, касающаяся окружности С в некоторой точке М, перпендикулярна к сферическому радиусу РМ окружности С, проведенной в точку Р. Поэтому тот из полюсов М' большой окружности, касательной к данной в точке М, которая расположена в одной полусфере с окружностью С, лежит на большой окружности МР, по ту же сторону от точки М, что и точка Р, на расстоянии ММ', равном квадранту, от точки М. Иначе говоря, точки М и М′ лежат на одной большой окружности с точкой Р, по разные стороны от Р и на расстоянии, равном квадранту, одна от другой.

Если точка М описывает данную окружность С, то точка М' также описывает малую окружность С', имеющую точку Р своим полюсом, так как дуга РМ' не изменяет при этом своей величины.

Рис.14

Окружность, полярная по отношению к С', будет совпадать с окружностью С, так как обе окружности имеют общий полюс Р, и радиус окружности, полярной по отношению к С′, совпадает с радиусом окружности С.