Расстояние между точками.

Возьмём две точки A,BÎS и рассмотрим большую окружность Q, проходящую через эти точки (рис.7). Окружность Q является объединением двух своих дуг ÈAMB и ÈANB с концами в точках A и B. Длина той из двух дуг, которая не больше полуокружности, называется сферическим расстоянием между точкам A и B и обозначается через d(A,B). Следовательно, для любых дух точек сферы S имеем d(A,B)≤pr.

Рис. 7

Пусть ÈAMBÌQ меньше полуокружности, и, значит, d(A,B) – длина этой дуги. Обозначим через a величину центрального угла AOB, опирающегося на дугу AMB, и через r(A,B) длину отрезка AB. Как известно,

                d(A,B)=ar.                                                                (1)

 Из треугольника AOB (рис.7) находим:

                r(A,B)=2r sin( )                                                     (2)

Из формул (1),(2) следует:

                r(A,B)=2r sin ( ).                                           (3)

2.3. Полюс и поляра.

Всякой большой окружности соответствует две диаметрально противоположные точки сферы, высекаемые из неё диаметром, перпендикулярным к плоскости большой окружности (рис.8). Эти две точки называются полюсами большой окружности; в частности, полюсами экватора Земли являются её географические полюсы – Северный и Южный. Очевидно, что каждым двум диаметрально противоположным точкам А и В на сфере соответствует единственная большая окружность, для которой точки А и В являются полюсами; эта большая окружность называется полярой пары диаметрально противоположных точек А и В. Каждая точка поляры называется полярно сопряжённой с каждым из её полюсов; иначе говоря, точки P,Q сферы являются попарно сопряжёнными, если радиусы OP и ОQ перпендикулярны (О – центр сферы). Понятно, что все точки поляры удалены от своего полюса на расстояние, равное  (или квадранту). 

Рис 8

Угол на сфере.

Углом между двумя пересекающимися линиями в пространстве называется угол между касательными к этим линиям в точке их пересечения. Частным случаем общего понятия угла между двумя линиями является угол между двумя большими окружностями на сфере. На рис. 9 изображён угол BAC между большими окружностями АВ и АС на сфере и измеряющий этот угол XAY между касательными AX и AY к этим большим окружностям.

Рис 9

Если мы проведём большую окружность, являющуюся полярой вершины А угла на сфере и пересекающую стороны этого угла в точках В и С, то лучи ОВ и ОС соответственно параллельны лучам AX и AY, касательным к сторонам угла (рис. 9). Поэтому длина угла большой окружности ВС равна произведению ÐВАС на радиус сферы, т.е. угол на сфере равен длине дуги большой окружности между точками сторон угла, полярно сопряжёнными с вершиной угла, делённой на радиус сферы.

Так как оба угла ВАС и ВА'С, образованные двумя полуокружностями при их различных концах, равны одному и тому же углу ВОС, то эти углы равны между собой и величина каждого из них называется углом между двумя большими полуокружностями. Две большие окружности определяют четыре угла между двумя полуокружностями, попарно равные друг другу. Те из этих углов, обе стороны которых являются продолжениями сторон другого угла, равны и называются вертикальными углами (рис.10, а); те из этих углов, которые имеют одну общую сторону, составляют в сумме развёрнутый угол и называются смежными углами (рис. 10, б).

а)                                                               б)

Рис 10

Так как полюсы D и E больших окружностей AB и AC представляют собой точки большой окружности ВС, полученные из точек В и С поворотом вокруг прямой АА' на прямой угол, то дуга ВС равна дуге DE и угол ВАС равен длине дуги DE, делённой на радиус сферы. Заменяя одну из точек D или Е её диаметрально противоположной точкой D' или E' (рис.11), мы получим угол, смежный с углом ВАС. Таким образом, угол между двумя большими окружностями равен длине дуги, соединяющей их полюсы, делённой на радиус сферы.

Рис 11

Так как при отражении от диаметральной плоскости полюсы большой окружности, высекаемой из сферы этой плоскостью, переходят друг в друга, то большие окружности, проходящие через эти полюсы, при указанном отражении переходят в себя (рис.12). Поэтому углы, составляемые этими большими окружностями с большой окружностью, высекаемой плоскостью, равны углам, смежным с ними и, следовательно, являются прямыми углами. Таким образом, большие окружности, одна из которых проходит через полюс другой, пересекаются под прямым углом. Будем называть такие большие окружности перпендикулярными.

Рис 12

Обратно, отметив на одной из двух перпендикулярных больших окружностей точку, полярно сопряжённую точке пересечения, мы получим такую точку, что проведённый в нее радиус сферы перпендикулярен диаметральной плоскости, высекающей из сферы вторую большую окружность (рис.13), т.е. точку, являющуюся полюсом этой окружности. Поэтому каждая из двух перпендикулярных больших окружностей проходит через полюс другой большой окружности.

Рис 13                                              Рис 14         

Отсюда следует, что большая окружность, являющаяся полярой точки пересечения двух больших окружностей, перпендикулярна обеим большим окружностям, т.е. две большие окружности всегда обладают единственной большой окружностью, перпендикулярной к ним обеим (рис.14). Для сравнения заметим, что на плоскости общими перпендикулярами обладают только параллельные прямые, причём две параллельные прямые обладают не одним, а бесконечным множеством общих перпендикуляров.

Понятие движение

Движением сферы называется такое преобразование сферы, при котором сохраняется расстояния между точками. Иными словами, преобразование j сферы является движением, если для любых точек А,В сферы расстояние между точками j(А) и j(В) равно расстоянию между точками А и В. Так как две точки А и В в том и только том случае являются диаметрально противоположными, если расстояние между ними имеет наибольшее возможное значение, равное 2R (где R – радиус сферы), то из определения движения непосредственно следует, что при любом движении сферы диаметрально противоположные точки сферы переходят в диаметрально противоположные точки. Это свойство также не имеет аналога в плоской геометрии, так как на плоскости нет таких пар точек, что движение одной из этих точек вполне определяет движение второй. Поэтому, если движение плоскости является преобразованием множества точек этой плоскости, то движение сферы по существу является преобразованием множества пар диаметрально противоположных точек сферы.

Рис 15                                                      Рис 16

В качестве примера движения сферы укажем поворот сферывокруг некоторого ее диаметра СС' на угол a, при котором каждая окружность сферы, имеющая линию СС' своей осью, поворачивается по себе на угол a (рис.15). Другим примером движения сферы является симметрия сферы относительно некоторой ее диаметральной плоскости p, при которой каждая точка А переходит в такую точку А', что плоскость p перпендикулярна отрезку АА' и проходит через его середину (рис.16). Поворот и симметрия являются в некотором смысле основными движениями сферы; именно можно доказать, что всякое (нетождественное) движение сферы либо является поворотом, либо является симметрией, либо представляет собой произведение поворота и симметрии.