Сферические многоугольники

Понятие сферического многоугольника и его свойства.

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная дугами больших окружностей, меньшими полуокружности, концами которых служат точки пересечения этих больших окружностей, взятых в последовательном порядке.

Сферический многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждого из больших кругов, частью которых служат его стороны; в противном случае он называется вогнутым.

В случае, когда многоугольник выпуклый каждый большой круг, частью которого служит сторона многоугольника, делит сферу на две полусферы, из которых одна содержит весь многоугольник; общая область R всех таких полусфер, содержащих данный многоугольник, и будет внутренней областью многоугольника.

Меньшая дуга большого круга, которая соединяет точки M и N, лежащие внутри многоугольника или на его периметре, целиком лежит в области R, т.е. внутри многоугольника. Сферические многоугольники классифицируются, как и плоские многоугольники, по числу их сторон; наиболее простым из них является сферический треугольник. Сферический двуугольник не является многоугольником, так как каждая его сторона равна полуокружности, а не меньше её.

Связь между сферическими многоугольниками и многогранными углами. Каждому сферическому многоугольнику соответствует многогранный угол, вершиной которого служит центр сферы, а рёбрами – прямые, соединяющие центр с вершинами многоугольника.

Линейные углы двугранных углов многогранного угла равны, углам многоугольника. Обратно, всякий многогранный угол, вершиной которого служит центр сферы, пересекает последнюю по сферическому многоугольнику.

Отсюда следует, что из каждого свойства, касающегося плоских углов и двугранных углов многогранного угла, можно вывести некоторое свойство, касающееся сторон и углов соответствующего сферического многоугольника.

Теорема 6. Если некоторый выпуклый сферический многоугольник расположен внутри какого-либо сферического многоугольника (причём оба многоугольника могут иметь одну или несколько общих вершин или сторон), то периметр объемлемого многоугольника меньше периметра объемлющего многоугольника.

Доказательство: Пусть ACDB – выпуклый многоугольник и AC′D′EFB – объемлющий его многоугольник (рис.26) Продолжим стороны АС и СD в одном и том же направлении АСDB, т.е. сторону АС за точку С, а сторону CD – за точку D. Эти продолжения пересекут стороны объемлющего многоугольника соответственно в точках G и H. Путь ACDB короче пути ACHB, т.е. они имеют общую часть ACD, а остающаяся часть DB первого короче остающейся части DHB второго. В свою очередь, путь ACHB меньше чем ABD′EFB, так как, отбрасывая общие части АС, НВ, получим отрезок СН, который короче CGD′EFH. Наконец, точно также AGD′EFH, меньше AC′D′EFB, так как AG меньше AC′G. Таким образом, имеем:

ACDB<ACHB<AGD′EFB<AC′D′EFB

Рис. 26

Доказательство сохраняет силу и в том случае, если объемлющий многоугольник заменить совокупностью двух больших полуокружностей.

Теорема 7. Периметр выпуклого сферического многоугольника меньше большой окружности.

Доказательство: Пусть дан сферический треугольник АВС, а точка А′ - точка диаметрально противоположная точке А. Тогда ВС<ВА′+А′С или ВС<4d-AB-AC. Откуда и следует, что ВС+АВ+АС<4d, где d – прямой угол.

    Случай многоугольника, имеющего любое число сторон, постепенно сводится к случаю треугольника; с этой целью продолжают две стороны многоугольника, смежные с одной и той же его стороной, так что число сторон уменьшается на единицу. Этот путь доказательства вполне соответствует цепи тех построений на сфере, которые изображены на рис.27.

Рис. 27