Сферическая теорема синусов
Докажем теперь сферическую теорему синусов, аналогичную теореме синусов плоской тригонометрии. Из формулы (7) вытекает равенство . Применяя это равенство, вычислим отношение . Так как полученное выражение симметрично относительно сторон a,b,c, то оно равно аналогичным выражениям, полученным из левой части этого равенства заменой сторон a,b,c и углов А, В, С в круговом порядке. Извлекая квадратный корень из этих выражений, получаем три равные выражения: (10) Эта формула и выражает сферическую теорему синусов: синусы сторон сферического треугольника относятся, как синусы противолежащих углов. Из формулы (10), в частности видно, что если в сферическом треугольнике имеет место соотношение , так что sinB=sinA, то в силу формулы (10) , т.е. либо a=b, либо . Но если a=b, то А=В и в соответствии с соотношением это даёт . Следовательно, С – полюс стороны АВ, и потому . Таким образом, соотношение справедливо и в этом случае. Итак, если , то стороны a и b связаны соотношением . Формулы пяти элементов
Одна из формул пяти элементов: произведение синуса стороны сферического треугольника на косинус прилежащего угла равно разности произведения косинуса стороны, лежащей против этого угла, на синус третьей стороны и произведения синуса стороны, лежащей против данного угла, на косинус третьей стороны и косинус стороны, лежащей против данного угла. (11) (12) (13) Меняя в формуле (11) местами стороны а и с и углы А и С, а затем заменяя обозначения сторон a, b, c и углов А, В, С в круговом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы (14) (15) (16) Эти формулы аналогичны теоремам проекций плоской тригонометрии. Заменяя в формуле (11) пропорциональными и величинами sinA, sinB и sinC, мы получим формулу или . (17) Мы получили формулу пяти элементов другого вида, которую обычно формулируют в виде: произведение косинуса стороны сферического треугольника на синус прилежащего угла равно сумме произведения косинуса угла, лежащего против этой стороны, на синус третьего угла и произведения синуса угла, лежащего против данной стороны, на косинус третьего угла и на косинус стороны, лежащей против данного угла. Заменяя в формуле (17) обозначения сторон а, b, с и углов А, B, С в круговом порядке, мы получим еще две аналогичные формулы (18) (19) Меняя в формуле (17) местами стороны а и с и углы Aи C, а затем заменяя обозначения сторон а, b, с и углов A, В, С в круговом порядке, мы получим еще три аналогичные формулы: (20) (21) . (22) Эти формулы не имеют аналогов в плоской тригонометрии.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (373)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |