Большая окружность как кратчайшая
Теорема 3. Во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон и больше их разности. В самом деле, пусть АВС – произвольный сферический треугольник. Допустим, что из двух сторон АВ, АС сторона АС большая. Отложим на стороне АС дугу АВ', равную дуге АВ (рис.21). Проведем какую-нибудь плоскость, проходящую через точки В. В' и пересекающую лучиОА и ОС (а не их продолжение) в точках А1 и С1. Треугольники ОА1В и ОА1В' равны, (так как они имеют общую сторону ОА1. равные стороны ОВ и ОВ' и равные углы при вершине О). Следовательно. А1В=А1В'. Так как точки А1. В' и С1 лежат на одной прямой, (являющейся пинией пересечения плоскостей ОАС и А1ВС1 ). Причем точка В' лежит между А1 и С1, то В'С1 = А1С1 - А1В'=А1С1 - А1В < ВС1. Рассмотрим теперь треугольники ОВС1 и ОВ'С1. В этих треугольниках ОС1 – общая сторона и ОВ=ОВ', а третьи стороны связаны неравенством В'С1<ВС1. Следовательно, углы, лежащие в этих треугольниках против неравных сторон, связаны неравенством ÐВ'ОС1< ÐВОС1. Поэтому дуга ÈВ'С, стягиваемая углом В'ОС, также меньше дуги ÈВС1, стягиваемой углом ВОС1. Иначе говоря, ÈАС - ÈАВ = ÈАС - ÈАВ' = ÈВ'С< ÈВС, т.е. каждая сторона сферического треугольника больше разности двух других его сторон. Отсюда, в свою очередь, вытекает, что ÈАС < ÈАВ + ÈВС, т.е. каждая сторона сферического треугольника меньше суммы двух других его сторон. Следствие 1. Во всяком сферическом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны лежит больший угол. Доказательство: Пусть в сферическом треугольнике АВС имеет место неравенство ÐС=ÐB, тогда через вершину проходит внутри треугольника такая дуга CD, что ÐАВС=ÐВСD. Треугольник ВСD – равнобедренный и BD=CD, тогда верно неравенство AC<AD+DC=AD+DB=AB И обратно, пусть теперь AB>AC, тогда предположим, что ÐС=ÐВ. Отсюда следует, что АВ=АС или ÐС<ÐВ, но тогда АВ<АС. Получили противоречие с условием. Следствие 2. Дуга большой окружности, меньшая полуокружности, короче всякой линии, состоящей из дуг нескольких больших окружностей, соединяющей те же точки сферы. Рис. 21 В отличие от плоскости, где невозможны треугольники с двумя прямыми углами, на сфере возможны такие треугольники: это треугольники, у которых одна из вершин является полюсом противоположной стороны; стороны этих треугольников, лежащие против прямых углов, равны . Имеются на сфере и треугольники с тремя прямыми углами - это автополярные треугольники, у них все три стороны равны . В том случае, когда сферический треугольник обладает только одним прямым углом, сторона, лежащая против этого угла, также как в случае плоских прямоугольных треугольников, называется гипотенузой, а остальные две стороны – катетами.
Теорема 4. Для того чтобы большая окружность пересекалась с какой-либо окружностью на сфере под прямым углом, необходимо и достаточно, чтобы первая из этих окружностей проходила через полюсы второй. Доказательство: Пусть I - общая точка двух окружностей, прямые IT и It — касательные к большой и малой окружностям в этой точке, Р и Р'— полюсы малой окружности, О - центр шара (рис. 22).
Рис. 22 Условие, указанное и теореме, достаточно. Действительно, если большая окружность проходит через точки Р и P', то её плоскость содержит две прямые, не параллельные между собой и перпендикулярные к прямой It, а именно диаметр РР' и радиус ОI. Следовательно, эта плоскость, а значит, и касательная IT перпендикулярны к It. То же условие и необходимо. Действительно, если две окружности пересекаются под прямым углом, то плоскость большой окружности содержит прямые IT и OI, перпендикулярные к It. Следовательно, она перпендикулярна к этой прямой, а потому и к плоскости малой окружности, и содержит в силу этого диаметр РР', перпендикулярный к этой последней плоскости и проходящий через точку О. Следствие. Через точку, лежащую на шаре, можно провести большую окружность, перпендикулярную к данной окружности этой сферы; эта большая окружность будет единственной, если данная точка не является полюсом данной окружности. Большая окружность, отвечающая поставленному условию, определяется данной точкой А и полюсами Р и Р' данной окружности. Заметим, что существуют две дуги большой окружности, выходящие из точки А и перпендикулярные к данной окружности; а именно те дуги, которые имеют своими концами точки пересечения I и I′ данной окружности с большой окружностью, существование которой только что было доказано. Примечание. Здесь рассматриваются исключительно дуги, выходящие из точки А и имеющие своими концами первые точки пересечения этих дуг с данной окружностью. Если не ввести этого ограничения, то число перпендикулярных дуг было бы более двух: например, поставленному условию отвечала бы дуга АР′I′ (рис. 22).
Теорема 5. Если через какую-либо точку сферы провести две дуги большой окружности, перпендикулярные к данной окружности, и различные дуги больших окружностей, наклонные к той же окружности, то одна из перпендикулярных дуг короче, а другая длиннее, чем все наклонные дуги. Наклонная дуга будет тем длиннее, чем далее отстоит её конец от конца меньшей перпендикулярной дуги. Доказательство: Пусть А - данная точка; Р—тот из полюсов данной окружности, который расположен по ту же сторону от этой окружности, как и точка А; АI и АI′ - обе перпендикулярные дуги большой окружности, причём АI′ - та из этих дуг, на которой лежит точка Р; АК, АК', АК"- различные наклонные дуги (рис. 23). Рис. 23.
1о. Дуга АК больше дуги AI, но меньше АI′. Действительно, если провести дугу РК большой окружности, то из сферического треугольника АРК имеем: АК >РК — РА, АК < РК + РА, в то время как РК—РА = PI — PA = АI, РК+ РА = PI′ + РА = АI′. 2°. Предположим, что точки К и К' данной большой окружности таковы, что дуги IК и IК' равны. При этом хорды, стягивающие эти дуги, также равны, и точка I одинаково удалена от двух точек К и К'. Так как точка Р обладает тем же свойством, то геометрическое место точек сферы, одинаково удалённых от точек К и К', есть большая окружность РI. Последняя проходит через точку А, а потому хорды АК и АК' равны, и, следовательно, равны соответствующие им дуги больших окружностей. 3о. Пусть теперь какая-либо точка К′′ на данной окружности обладает тем свойством, что IK′′ > IК. Можно предположить, основываясь на (2о), что обе точки К и К′′ лежат по одну сторону от точки I. Проводим дуги больших окружностей РК и РК′′. Так как точка К лежит внутри угла К′′РI, то ÐKPI<ÐК′′РI. Треугольники АРК и АРК′′ имеют, таким образом, по неравному углу (при вершине А), заключенному между соответственно равными сторонами, откуда следует, что АК < АК′′. Теорема доказана.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (221)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |