Тригонометрические соотношения в сферических треугольниках

1. Вычислить длину дуги параллели земного шара, соединяющей a=42⁰15′ и проходящей через точку с широтой f=37⁰24′. Радиус земного шара R=6370 км.

2. Доказать «формулу пяти элементов»:  

Решение:

3.  Доказать, что:

4. Доказать вторую теорему косинусов:

5. Доказать «формулу четырёх элементов»:

6. Доказать «Сферическую теорему Пифагора»:

7. Доказать, что в сферическом треугольнике верно равенство:

8. Доказать, что для сферических треугольников, где , верно равенство:                                

9. Для прямоугольного сферического треугольника ( ) вывести формулу:                                  

10. Для прямоугольного сферического треугольника ( ) вывести формулу:                                

11. Для прямоугольного сферического треугольника ( ) вывести формулу:                               

12. Доказать, что если в прямоугольном сферическом треугольнике ( ) имеют место соотношения:  (либо ), то . Если же  (либо ), то .

13. Пусть дуга BD большой окружности перпендикулярна к стороне АС сферического треугольника АВС, причём длина этой дуги . Доказать справедливость равенств: .

14. Доказать, что во всяком сферическом треугольнике справедливы равенства: .

15. Доказать, что углы всякого сферического треугольника можно вычислить по его сторонам, пользуясь формулами:

,

где  - полупериметр сферического треугольника.

16. Вывести следующую формулу для вычисления избытка сферического треугольника:

 , где С – наибольший из углов треугольника.

Заключение

В данной работе были проанализированы теоретические и практические аспекты сферической геометрии, а также рассмотрено понятие и модели дистанционного обучения. На основе изученного материала был создан дистанционный курс по сферической геометрии, описание которого дано в работе, а сам он является приложением в электронном виде.

Особые трудности возникли на этапах подбора задач и создания дистанционного курса. Последнее вызвало затруднения в силу того, что для разработки любых интерактивных программ достаточно высокого качества необходимы более глубокие знания и навыки, в частности языка HTML, VBScript и т.д. Тем не менее, созданный курс достаточно удобен для  пользователя в силу обширной системы ссылок и подсказок, позволяющих легко перемещаться между разделами.

Таким образом была реализована идея применения информационных технологий на примере изучения темы «Сферическая геометрия». Данный курс может быть впоследствии доработан следующим образом: расширение тестового и задачного материала, дополнительное введение промежуточного контроля знаний при переходе от одной лекции к другой, усовершенствование пользовательского интерфейса. Данный курс может быть применён при заочном или дистанционном обучении.

В целом, использование информационных технологий и новых возможностей глобальной сети (например, видеоконференций) сделает практически возможными любые педагогические замыслы, осуществление не только локальных экспериментальных методов, концепций обучения под пристальным наблюдением экспертов, но и удаленных, охватывающих значительные территории разных стран.

Литература

1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч.2. М., Учпедгиз, 1958.

2. Андреев А.А. Введение в дистанционное обучение. – М., 1997.

3. Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.2. – М.:Просвещение,1987. – 352с.

4. Базылев В.Т. Геометрия. М.:Просвещение,1975.

5. Базылев В.Т. Сборник задач по геометрии. М.:Просвещение,1980. -240с.

6. Десятов Д. К проблеме внедрения дистанционных форм обучения/ Д. Десятов, Б. Преображенский, Т. Толстых // Альма матер: Вестн. высш. шк.. - 2003. - № 4. - С. 13-16.

7. Егоров И.П. Геометрия. – М.:Просвещение,1979. – 256с.

8. Егоров И.П. Основания геометрии. – М.:Просвещение,1984. – 144с.

9. Егоршин А.П. Пути развития дистанционного высшего образования/ / А. П. Егоршин, В. А. Кручинин // Научные труды МИМ ЛИНК / Междунар. ин-т менеджмента ЛИНК. -2000. -Вып. 1. - С. 27-40.

10. Задачник «Кванта»: Математика. Часть 1. / Под ред. Н.Б. Васильева. М.:1997.

11. Кичев С.С. Особенности использования дистанционного обучения в российском вузе/ / С. С. Кичев // Проблемы региональной экономики. -1999. -№ 5/6/7. - С. 299-306.

12. Моисеев В.Б. Организация учебного процесса при использовании технологий дистанционного обучения // Информатика и образование. – 2002. - №12. – с.64-68.

13.  Основные компоненты дистанционной образовательной технологии. Возможные модели дистанционного обучения//Дидактические технологии в высшей школе. - М., 2002.- 242-249 с.

14.  Особенности дистанционного образования//ИНТЕРНЕТ-ТЕХНОЛОГИИ в Федеральной целевой программе 'Электронная Россия (2002-2010 годы)'. - М., 2003.- 167-170 с.

15.  Перепёлкин Д. И. Курс элементарной геометрии. т.II. М.-Л., Гостехиздат, 1949.

16.  Погорелов А.В. Геометрия. – М., Наука. 1984. – 288с.

17.  Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве. М.,Наука.,1976. – 408с.

18.  Сергеева Т. «Новые информационные технологии и содержание обучения» // Информатика и образование. - 1991. - №1.

19.  Хороших О.А. Опыт внедрения элементов дистанционного образования на практических занятиях по высшей математике/ / О. А. Хороших // Вестник Красноярского государственного технического университета. -1999. -(обл. 2000). - Вып. 16. - С. 142-144.

20. Энциклопедия элементарной математики. Кн.4 – Геометрия. М.,1963.