Витя Малеев в школе и дома

Пример рассуждения встречается, когда Витя пытается решить задачу заданную на дом.

“… я стал думать, как решить задачу. Сначала я думал, что если 12 топоров и 3 пилы стоят 84 рубля, то надо сложить все топоры и пилы вместе и 84 поделить на то, что получилось. Я сложил 12 топоров и 3 пилы, получилось 15,. Тогда я стал делить 84 на 15, но у меня не поделилось, потому что остался остаток. Я понял, что произошла какая-то ошибка, и стал искать другой выход. Другой выход нашелся такой: я сложил 12 топоров и 5 пил, получилось 17, и тогда я стал делить 100 на 17, но у меня опять получился остаток. Тогда я сложил все 24 топора между собой и стал делить рубли на топоры с пилами, но деление все равно не вышло. Тогда я стал отнимать пилы от топоров, а деньги делить на то, что получилось, но все равно у меня не получилось. Потом я еще пробовал складывать между собой пилы и топоры по отдельности, а потом отнимать топоры от денег, и то, что осталось, делить на пилы, и чего я только не делал, никакого толку не входило. Тогда я взял задачу и пошел к Ване Пахомову.

Слушай, - говорю, - Ваня, 12 топоров и 3 пилы вместе стоят 84 рубля, а 12 топоров и 5 пил стоят 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила? Как, по-твоему, надо сделать задачу?

А как ты думаешь? - спросил он.

Я думаю, нужно сложить 12 топоров и 3 пилы и 84 поделить на15.

Постой! Зачем тебе складывать пилы и топоры?

Ну, я знаю, сколько было всего, потом 84 разделю, на сколько всего и узнаю, сколько стоила одна.

Что - одна? Одна пила или один топор?

Пила, - говорю, - или топор.

тогда получится, что они стоили одинаково.

А они разве не одинаково?

Конечно, не одинаково. Ведь в задаче не говорится, что они стоили поровну. Наоборот, спрашивается, сколько стоит топор и сколько пила отдельно. Значит, мы не имеем права их складывать.

Да их, - говорю, - хоть складывай, хоть не складывай, все равно ничего не выходит,

Вот поэтому и не выходит.

Что же делать? - спрашиваю я.

А ты подумай.

Да я уже два часа думал!

Ну, присмотрись к задаче, - говорит Ваня. - Что ты видишь?

Вижу, - говорю, - что 12 топоров и 3 пилы стоят 84 рубля, а 12 топоров и 5 пил стоят 100 рублей.

Ну, ты замечаешь, что в первый раз и во второй топоров куплено одинаковое количество, а пил на две больше?

Замечаю, - говорю я.

А замечаешь, что во второй раз уплатили на 16 рублей дороже?

Тоже замечаю. В первый раз уплатили 84 рубля, а во второй раз - 100 рублей, 100 минус 84, будет 16.

А как ты думаешь, почему во второй раз уплатили на 16 рублей больше?

Это каждому ясно, - ответил я, - купили две пилы, вот и пришлось уплатить лишних 16 рублей.

Значит, 16 рублей заплатили за две пилы?

Да, - говорю, - за две.

Сколько же стоит одна пила?

Раз две 16, то одна, - говорю, - 8.

Вот ты и узнал, сколько стоит одна пила.

Тьфу! - говорю. - Совсем простая задача! Как это я сам не догадался?!

Постой, тебе еще надо узнать, сколько стоит топор.

Ну, это уж пустяк, - говорю я. - 12 топоров и 3 пилы стоят 84 рубля. 3 пилы стоят 24 рубля. 84 минус 24, будет 60. Значит, 12 топоров стоят 60 рублей, а один топор - 60 поделить на 12, будет 5 рублей.

Я пошел домой, и очень мне было досадно, что я не сделал эту задачу сам…”

Сначала рассуждение ведется в виде монолога Вити, затем в виде диалога Вити и Вани. В рассуждении встречаются ключевые слова: я стал думать, которые показывают, что рассуждение ведется от первого лица.

Рассуждение Вити - это рассуждение ребенка, так может рассуждать реальный ребенок. Витя перебирает способы решения, которые только может придумать, поэтому рассуждение Вити не нормативное, в нем не заданы нормы того, как надо решать задачу. Правильное решение приводится тогда, когда идет диалог Вити с Ваней. В отличие от рассуждения Лакатоса И. в этом рассуждении метаязык отсутствует, т.к. в этом рассуждении не присутствует персонажа, который был бы компетентен в исследовании. В рассуждение есть вопросы, так как ведется диалог между персонажами.

3).Статья “Близкие дроби” из журнала “Квант”

“Выпишем все правильные дроби, у которых знаменатель не больше 7;

_{1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5/6, 1/6,1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7} .

(мы пропустили сократимые дроби: 2/4, 2/6, 3/6, 4/6 - из дробей, представляющих одно то же число, мы выбираем одну дробь, а именно ту, у которой числитель и знаменатель наименьшие). Теперь запишем те же дроби в порядке возрастания:

_{1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3/ 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7} . (1)

… При этом соблюдается интересная закономерность: числитель разности двух соседних дробей всегда получается равным единице, точнее,

А. Для любых двух соседних дробей a / b , c / d (где a / b < c / d ) выполняется равенство bc - ad =1.

Какие еще закономерности присущи ряду дробей (1)? Не трудно обнаружить, что сумма двух дробей симметрично стоящих в этом ряду, равна 1. Интересно, заметил ли читатель, что

Б. Каждая дробь получается из соседних с ней двух дробей следующим образом: надо сложить их числители и разделить полученное число на сумму знаменателей…

Дадим два определения, связанными с нашими наблюдениями.

Определение 1. Назовем две дроби a / b , c / d ,близкими, если bc - ad равно 1 или -1.

Упражнение 4. Выберите из дробей (1) все пары близких дробей”.

Схема, по которой описывает свое исследование В.Н. Вагутен: сначала он подбирает материал для исследования, затем ставит себе более узкую задачу и описывает, выделенную им закономерность, формулирует и обосновывает гипотезу и оформляет результат в виде определений и упражнений.

Это нормативное рассуждение, т. к. никаких рассуждений, которые нам не понадобятся, в тексте не встречается, показываются только те ходы, которые нам нужны для того, чтобы заметить закономерности.

Стиль изложения в этом рассуждении - это не явный диалог автора с читателем, об этом нам говорит фраза: “Интересно, заметил ли читатель, что…” Этим он как бы разговаривает с читателем, как бы спрашивает: “А вы заметили, что…”

В тексте используется метаязык: закономерность, определение, упражнение…

4).” Математика и правдоподобные рассуждения”

Автор ставил перед собой задачу указать начинающему математику пути к математическому творчеству, научить его способам, позволяющим лучше разбираться в трудных математических вопросах, открывать математические теоремы, решать задачи.

“…Случайно вы наталкиваетесь на соотношения

+ 7=10,

+17=20,

+17=30

и замечаете между ними некоторое сходство. Вам приходит в голову, что числа 3, 7, 13, и 17 являются нечетными простыми числами. Сумма двух нечетных простых чисел есть обязательно четное число; действительно, числа 10, 20, и 30-четные. А что можно сказать о других четных числах? Ведут ли они себя подобным же образом? Первое четное число, является суммой двух нечетных простых чисел, если, конечно,

=3+3.

Двигаясь дальше, находим, что

=3+5,

=3+7=5+5,

=5+7,

=3+11=7+7,

=3+13=5+11.

Всегда ли так будет продолжаться? Как бы то ни было, частные случаи, которые мы наблюдали, наводят на мысль об общем утверждении; любое четное число, большее чем 4, представимо в виде суммы двух нечетных простых чисел. Поразмыслив об исключительных случаях-числах 2 и 4, которые не могут быть расщеплены в сумму двух нечетных простых чисел, мы можем предпочесть следующее менее непосредственное утверждение: любое четное число, не являющееся ни простым числом, ни квадратом простого числа, представимо в виде суммы двух нечетных простых чисел.

Итак, нам удалось сформулировать предположение. Мы нашли это предположение с помощью индукции. Иными словами, оно возникло у нас в результате наблюдения, было указано отдельными частными примерами”.

Сначала, автор как бы рассказывает, что делает читатель, случайно натолкнувшись на некоторое соотношение, для этого он использует такие ключевые слова как: ”Вы наталкиваетесь…”, “вам приходит в голову…” Потом незаметно, он переходит на совместные действия с читателем, для того, чтобы это показать, он использует следующие ключевые слова: “…Двигаясь дальше, находим…”, “…мы наблюдали…”, “…мы можем предпочесть…”

После рассуждения в тексте выделяются шаги.

“Взглянем теперь назад и попытаемся уловить в предыдущем рассуждении такие шаги, которые могли бы быть типичными для процесса индукции.

Сначала мы подметим некоторое сходство. Мы осознали, что 3, 7, 13 и 17 - простые, а 10, 20 и 30 - четные числа и что три соотношения 3+7=10, 3+17=20, 13+17=30 аналогичны между собой.

Следующим шагом было обобщение. От четырех чисел 3, 7, 13 и 17 мы перешли ко всем нечетным простым числам; от 10, 20 и 30 - ко всем четным числам, а затем - к возможному общему соотношению

четное число = простому числу + простое число.

Мы пришли, таким образом, к отчетливо сформулированному общему утверждению, которое, однако, является только предположением, только пробным утверждением. Это значит, что утверждение не в коей степени не является доказанным, никак не может претендовать на истинность, оно является только попыткой подойти к истине”.

Рассуждение является нормативным, т. к. в нем встречаются только верные рассуждения, а неверных нет. Так же об этом нам говорят используемые слова, такие как “поразмыслив”.

В рассуждении используется метаязык: предположение, индукция, обобщение, утверждение.

Рассуждение в основном построено на рассмотрении частных случаев, из которых делается предположение.

В рассуждении очень много вопросов: “Всегда ли так будет продолжаться?”

”А что можно сказать о других четных числах?”

За каждой главой следуют упражнения. Некоторые из упражнений дают читателю возможность заново рассмотреть детали, только намеченные в тексте. Однако большая часть упражнений дает возможность читателю вывести свои собственные правдоподобные заключения.

5).”Исследование психологии процесса изобретения в области математики”

Рассуждение ведется от первого лица.

“Действительно, в течение одной бессонной ночи и при обстоятельствах, к которым мы еще вернемся, он построил первый класс автоморфных функций. Затем он пожелал найти для них выражение: «Я хотел представить эти функции в виде отношения двух рядов: эта идея была совершенно сознательной и обдуманной; мной руководила аналогия с эллиптическими функциями. Я спрашивал себя, какими свойствами должны обладать эти ряды, если они существуют, и мне без труда удалось построить эти ряды, которые я назвал тета-автоморфными. В этот момент я покинул Кан, где я тогда жил, чтобы принять участие в геологической экскурсии, организованной Горной школой. Перипетии этого путешествия заставили меня забыть о моей работе. Прибыв в Кутанс, мы сели в омнибус для какой-то прогулки; в момент, когда я встал на подножку, мне пришла в голову идея безо всяких, казалось бы, предшествовавших раздумий с моей стороны, -идея о том, что преобразования, которые я использовал, чтобы определить автоморфные функции, были тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии. Из-за отсутствия времени я ничего не проверил и, едва сев в омнибус, продолжал начатый разговор, но я уже был вполне уверен, в правильности сделанного открытия для очистки совести проверил найденный результат.

В то время я занялся изучением некоторых вопросов теории чисел, не получая при этом никаких существенных результатов и не подозревая, что это может иметь малейшее отношение к прежним исследованиям. Разочарованный своими неудачами, я поехал провести несколько дней на берегу моря и думал совсем о другом предмете. Однажды, когда я прогуливался на взморье, мне так же внезапно, быстро и с той же мгновенной уверенностью пришла идея, что арифметические преобразования тройничных неопределенных квадратичных форм тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии»”.

В этом рассуждение не описывается само исследование, а описываются события, при которых происходило это исследование, т. к. зто важно для психологов. Для них важно выделить те явления, при которых происходит исследование, чтобы потом выделить этапы, которые обязательно проходит исследование. Например, Пуанкаре А. в своей работе “Математическое творчество” говорит, что творчество проходит несколько необходимых этапов.

“То, что вас удивит прежде всего, это видимость внутреннего озарения, являющаяся результатом длительной неосознанной работы; роль этой бессознательной работы в математическом изобретении мне кажется несомненной и ее следы можно найти и в других случаях, когда это менее очевидно. Часто, когда работают над трудным вопросом, с первого раза не удается ничего хорошего, затем наступает более или менее длительный период отдыха и потом снова принимаются за дело. В течение первого получаса дело вновь не двигается, а затем вдруг нужная идея приходит в голову. Можно было бы сказать, что сознательная работа стала более плодотворной, так как была прервана, и отдых вернул уму его силу и свежесть. Но более вероятно предположить, что этот отдых был заполнен бессознательной работой и что результат этой работы внезапно явился математику точно так, как это было в случае, который я рассказал; только озарение вместо того, чтобы произойти во время прогулки или путешествия происходит во время сознательной работы, но совершенно независимо от этой работы, которая, самое большее, играет роль связующего механизма, переводя результаты, полученные во время отдыха, но оставшиеся неосознанными, в осознанную форму”.

События, при которых происходило исследование, происходили в следующем порядке.

Сначала во время бессонной ночи построил класс автоморфных функций.

Затем он задал себе вопрос.

Потом путешествие заставило его забыть о работе.

Следующим шагом было то, что когда он вставал на подножку омнибуса, ему пришла идея, которую он сразу не проверил.

Затем, когда он прогуливался на взморье, ему внезапно пришла новая идея.

В рассуждении используются следующие слова для описания процесса исследования: идея, открытие, результат, исследование.

 

Анализируя все эти источники можно выделить следующие характеристики:

1. Стиль изложения · «Авторитарный» (квази-общение с читателем; обычно употребление глаголов в 1-м лице мн. числа); · рассуждение - от лица автора (от 1-го лица) - безличное; 2. Форма изложения · диалог - автора с читателем  - вымышленных героев; · монолог.

“Вы наталкиваетесь…”, “вам приходит в голову…”.   “Я стал думать…”, “я сложил…”, “я принимаю…”. “Не трудно обнаружить…” “Случайно вы наталкиваетесь… и замечаете... Вам приходит в голову…” Сигма. …если у вас есть доказательство, то, пожалуйста, дайте его. Учитель. Действительно, я его имею… Дельта. Вы должны назвать это теперь теоремой…”. “Я хотел представить… мной руководила… Я спрашивал себя… мне без труда удалось…”

3. Наличие верных и неверных ходов

Мной выделено три вида описания исследования:

a. “ход мыслей” (описывается от лица автора, в нем присутствуют как верные, так и неверные ходы) (Лакатос И, Носов Н.Н.);

b. “нормативное” описанием (описание безличное или “авторитарное”, наличие только верных ходов) (Вагутен В.Н., Пойа Д.);. событийно (описание от лица автора, описываются события, при которых происходило исследование) (Адамар Ж.).

4. Наличие ключевых слов

Таких как: я стал думать, я подметил, вы наталкиваетесь, выпишем и т.п. По ключевым словам, можно определить, кто проводит исследование либо автор (Адамар Ж.), либо вымышленный герой (Лакатос И., Носов Н.Н.), либо математик (Пойа Д.), либо читатель вслед за автором (Пойа Д.).

5. Присутствие или отсутствие метаязыка, описывающего исследование

Есть ли в тексте такие слова как: определение, контрпример, теорема, доказательство, гипотеза, открытие, результат, исследование. Я заметила, что метаязык используется теми героями, которые компетентны в исследовании. Например, у Лакатоса метаязык присутствует у учителя, а у учеников он отсутствует. Чем больше компетентность в вопросе исследования, тем больше метаслов используется.

6. Наличие вопросов

Задаются ли в тексте вопросы, на которые затем даются ответы или которые остаются без ответа (на которые должен ответить читатель).

Глава 2. Учебно-исследовательская деятельность шестиклассников на уроках “Начала анализа”