Апробация в Школе молодого ученого (ШМУ)

Занятие 1 в ШМУ

Проект занятия

Тема: “Признаки делимости”

Вид урока: учебно-ролевая игра

Цель: 1) Освоение культурных образцов рассуждения;

2) Приобретение учащимися опыта рассуждений, для использования этого опыта при написании творческих работ.

Методическая цель: Создать методическое обеспечение для освоения учащимися способов описания исследования.

План занятия:

1. Сообщение необходимых знаний.

Что такое:

системы счисления;

позиционная запись числа.

Вспомнить признаки делимости в 10-чной системе счисления.

2. Работа с текстами.

Виды работы: 1. Самостоятельная работа с текстами;

. Общее обсуждение.

Средства: Учебные тексты (приложение 2).

Ход занятия

Часть1

Начинается занятие, все садятся и успокаиваются.

Ведущий занятия приветствует всех.

Ведущий (В). Тема нашего сегодняшнего занятия: Признаки делимости. Для работы нам понадобятся некоторые дополнительные знания. Мы с вами какими цифрами записываем числа?

Дети (Д). 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0.

Записывают на доске:

,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

В. А дальше?

Записывают на доске дальше:

,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14

В. А давайте представим, что мы с вами инопланетяне, и, что мы считаем пятерками. Какие цифры у нас будут?

Д. 1,2,3,4,0

Записывают на доске:

,1,2,3,4

В. А дальше?

Записывают:

,1,2,3,4,10,11,12,13,14,20,21

В. А как отличить десятки?

Учителя помогают: Надо написать индекс в кружочке.

Подписали индекс.

В. называет системы, и дети отвечают, сколько в ней будет цифр.

В. Если надо число 31₅, какое ему будет равно число в десятичной системе счисления?

Мальчик. 16₁₀.

В. Как ты нашел?

Мальчик. 31₅ =3·5+1

Проверили, дописав ряды чисел.

В. Как называется запись 3·5+1

Д. Разложение на разряды.

В. помогает: позиционная запись.

В. записывает позиционную запись числа.

₁₀ =3·10² +5·10¹+1·10⁰

В. записывает на доске числа

₁₀, 42₁₀, 152₆.

В. Запишите позиционную запись этих чисел.

Дети записывают в тетрадях.

Затем ведущий просит записать на доске то, что написали в тетрадях.

Все боятся.

Затем вышел мальчик и записал:

₁₀=1·10² +2·10¹+3·10⁰;

₆=1·6² +5·6¹+2·6⁰.

В. А теперь посчитайте в десятичной системе счисления.

Продолжают запись

₆=1·6² +5·6¹+2·6⁰=36+30+2=68.

В. вспомните признаки делимости в десятичной системе счисления. Какие вы знаете?

Д. На 3,9,5,10,2.

В. Запишем на 3 и 9.

Дети произносят признак. Ведущий записывает на доске:

на 3 и 9

по сумме цифр

В. А на 5,2,10?

Записывают: на 5,2,10

по последней цифре

В. Все признаки делимости вспомнили?

Д. Да.

В. Теперь задание. Надо написать, верны или нет утверждения

Определили легко, истинны или ложны утверждения, кроме последнего утверждения.

В. Как проверить?

Д. Перевести.

Проверяют последнее выражение переводом.

В. Какую задачу можем поставить?

Д. Вывести признаки делимости в других системах счисления.

Часть 2. Чтение текстов

Детям раздаются тексты.

Дается задание прочитать рассуждение 1 и написать к рассуждению вопросы. Давалось 20 минут. В. Кому все понятно почти все подняли руки.

Почти все подняли руки.

В. А кто бы мог выступить в роли экспертов и ответить на вопросы аудитории?

Никто не поднял руки. Предложили выйти двум мальчикам, они, чуть-чуть поколебавшись, согласились.

Вопросы и ответы:

18.По какому признаку вы выбирали числа?

Ответ. Выписали все двузначные числа в 7-чной и 14-чной системах счисления.

19.Почему взяли 14-чную систему счисления? Как записать числа в 14-чной системе счисления?

Ответ. Дано по условию задачи. Числа записываются 78₁₄.

20.А как, например, записать число 11 десятков и 13 единиц?

Ответ. (Учителя помогают) Можно писать в кружочке, а можно числа 10,11,12,13 заменить буквами:

 

 

Чаще используют вторую запись bd₁₄.

21.Как перебрали все числа в 14-чной системе счисления?

Ответ. Выписали все однозначные и двузначные числа, а затем проверяли, делятся они или нет переводом.

22.Почему среди всех двузначных чисел нет чисел с a, b, g,d?

Ответ. (Мальчики замялись. Учитель ответил за них) Это не доработка разработчика.

23.Почему в 7-чной системе счисления не берутся однозначные, а в 14-чной берутся и однозначные и двузначные числа?

Ответ. Потому что в 7-чной системе счисления нет однозначных чисел делящихся на 7, а в 14-чной системе счисления есть однозначное число, делящееся на 7 и это число 7.

24.Какую закономерность школьник увидел в записи чисел?

Ответ. Что на 7 в 7-чной системе счисления делятся двузначные числа, оканчивающиеся на 0. А на 7 в 14-чной системе счисления делятся однозначные и двузначные числа, оканчивающиеся на 0 и 7.

25.Задача формулируется общая, а рассуждения были для однозначных и двузначных чисел. Решил ли школьник задачу?

Ответ. Решил для двузначных чисел, но поставленную задачу не решил.

Затем мальчики сели. Ведущий дал задание прочитать рассуждение 2 и составить вопросы (времени было дано мало, т.к. мы не укладывались в рамки занятия).

В. Все ли всем понятно в данном рассуждении.

Все было понятно студентам, учителям и двум ученикам, которые до этого были экспертами. Поэтому в роли экспертов предложили выйти двум студентам.

Вопросы и ответы:

26.Почему появилась аналогия с признаком делимости на 9?

Ответ. Так как в десятичной системе счисления мы знаем признаки по сумме цифр числа и по последней цифре, то просто решили попробовать воспользоваться признаком делимости по сумме цифр.

27.Если сумма цифр 21, будет ли число делиться на 7?

Ответ. Не обязательно, т.к. по сумме мы не можем определить делится ли число на7 в 7-чной и 14-чной системах счисления.

28.Почему взяли трехзначные числа?

Ответ. Потому что их большее количество.

29.Уверены, что ваш признак верный?

Ответ. Нам не удалось найти контрпример, поэтому мы можем предположить, что он верен, но нам так же и не удалось его доказать, поэтому мы не можем утверждать, что он верен.

30.Решил ли ровесник задачу?

Ответ. Да, мы вывели признак, которым будем пользоваться.

По рассуждав, аудитория ответила, что нет, рассмотрели только для трехзначных.

Девочки сели.

Было дано задание прочитать третье рассуждение и написать вопросы.

Время вышло (было дано 10 минут).

В. Кому понятно третье рассуждение.

Оно было понятно все тем же двум мальчикам, студентам и учителям.

В роли эксперта мы попросили выступить Валентину Захаровну (учитель), но даже она взяла себе в помощники Оксану Ивановну (учитель).

 

Вопросы и ответы:

. Что означает a₂a₁a_{0 14,} a_n…a_{0 р}?

Ответ. a₂a₁a_{0 14} обозначает произвольное трехзначное число в 14-чной системе счисления, а a_n…a_{0 р} произвольное число в системе счисления по основанию р.

.Почему делается обобщение на произвольную систему счисления, основание которой делится на 7?

Ответ. Это получается из позиционной записи числа.

.Почему так мало примеров вы рассмотрели?

Ответ. Опирались на доказанные свойства, а не на конкретные примеры?

.Можно ли взять 3-чную, 6-чную и 12-чную будет ли аналогичной теория (признак делимости на 7)?

Ответ. Нет.

.Это правда, что вы теперь можете больше, чем там написали?

Ответ. Мы решили более общую задачу, чем задача, которую мы решали.

6.Говорилось про 28-чную систему счисления, будет ли этот признак работать?

Ответ. Да.

В. А теперь как вы думаете, кому принадлежит 1-ое рассуждение, кому 2-ое, а кому 3-е?

Ответ. 1-ое - младший школьник, 2-ое - ровесник, 3-е - старшеклассник.

В. А как по вашему старшеклассник - это сколько лет?

Ответ. От десятого класса и до 21 года.

В. А для чего вам может пригодится это рассуждение?

Ответ. Для того, чтобы выводить признаки делимости. Для проведения аналогичных рассуждений. Для оформления своих творческих работ.

В. Домашнее задание: Решите аналогичную задачу и опишите ее по аналогии с одним из рассуждений.

На этом занятие закончили.

Занятие 2 в ШМУ

Проект занятия

Тема: “Признаки делимости”

Вид урока: Отработка полученных способов исследования

Цель: Попробовать, по полученному образцу исследования, провести свое исследование.

План занятия:

1. Повторение

2. Работа в группах

.   Сообщение полученных результатов

Виды работы: 1. Работа по группам;

. Доклад полученных результатов.

Средства: Учебные тексты (приложение 2);

Карточки с заданиями (приложение 3).

Ход урока

Раздали листочки с заданиями.

В. Тема сегодняшнего занятия: Признаки делимости. На этом занятие я предлагаю сделать свое исследование. Давайте повторим. Как будем переводить 45₅?

Записывают .

В. А если у нас 111₂?

Записывают .

В. Вспомнили?

Д. Да.

В. Давайте вспомним признаки делимости в 10-чной системе счисления.

Д. По сумме цифр числа - признаки на 3 и 9,

По последней цифре - признаки на 2, 5, 10.

В. Теперь давайте приступим к выполнению заданий из карточек. Я засекаю время и вам надо за 10 минут сделать как можно больше примеров.

Трем мальчикам дается индивидуальное задание (решить и обобщить как можно больше примеров).

Все решают переводом, только один мальчик натолкнулся на мысль о признаке.

В. Время вышло. Кто сколько решил?

Одна девочка 7 примеров, один мальчик 5 примеров, остальные 4 и меньше.

В. Как решали?

Д. Переводили и смотрели.

В. Но это не очень действенный способ. Как можно быстрее научиться решать такие примеры?

Валентина Захаровна (учитель). Я думаю можно с помощью рассуждения два (ровесника) в конце.

В. Т.е. Валентина Захаровна предлагает использовать признак. Ускорило бы это решение примеров?

Д. Да.

В. Как вы думаете, сильно ли признаки делимости в других системах счисления отличаются от признаков в 10-чной системе счисления?

Д. Нет.

В. Я предлагаю попробовать вывести несколько признаков делимости, а затем доложить и обсудить их. Дома вы попробуете описать выведенные признаки.

группа в 12-чной системе счисления на 6,

группа в 6-чной системе счисления на 2,

группа в 6-чной системе счисления на 3,

группа в 12-чной системе счисления на 2.

Кому нужна помощь, могут обращаться. Вам раздали рассуждения, можете ими пользоваться.

Дети работают в группах. Выдвигают свои предположения.

Затем дается время на то, чтобы обсудить, что будут докладывать, и кто будет докладывать.

В. Задание для всех, определить к какому рассуждению относится рассказываемое рассуждение.

Докладывают.

Гр.4.

Вывод: Если число четное, то делится на 2. В любой четной системе счисления на 2 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или четное число.

Наше рассуждение аналогично рассуждениям 1 и 2.

Гр.2. Мы рассмотрели некоторые числа

и вывели предположение: Если число оканчивается на 0, 2, 4 в 6-чной системе счисления, то оно будет делиться на 2.

Наше рассуждение относится ко второму, потому что сделали предположение, но не удалось доказать.

Гр.3.

Мы выписывали, переводили, и получили, что делятся только те, которые оканчиваются на 3 и 0. Количество цифр в числе не имеет значения.

Сделали формулу

+3=12

Формула: Если

Рассуждение относится к концу второго началу третьего.

Гр.1.

Выписывали цифры в этой системе счисления: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11.

Мы вывели закономерность, что каждое число делится на 6, если начинается с делимого делящегося на 6. Т.е. в 12-чной системе счисления будут делиться числа оканчивающиеся на 0 и 6.

Мы брали числа и раскладывали в позиционную запись (переводом) и проверяли.

Рассуждение относится ко второму, потому что на частных примерах, но доказать не удалось.

Домашнее задание: Получили отношение к исследованиям. Попробуйте описать свои рассуждения с учетом замечаний и возможно продолжением.

Мальчики, которые выполняли отдельно задания, решили три задачи.