Рассуждение старшеклассника

Мне известно свойство делимости суммы: если каждое слагаемое суммы делится на 7, то сумма делится на 7. Попробую применить это свойство для вывода признака делимости на 7.

Рассмотрю два числа: 437₁₄ и 743₁₄. Представлю эти числа как сумму трех слагаемых при помощи позиционной записи числа:

437₁₄=4^.14²+3^.14+7

₁₄=7^.14²+4^.14+3.

Замечу, что любое трехзначное число a₂a₁a_{0 14} в 14-ной системе счисления можно записать в виде суммы трех слагаемых

a₂a₁a_{0 14} =a_2. 14²+a₁^.14+a₀

Из того, что 14 делится на 7, следует, что a_2. 14²+a₁^.14 всегда будет делиться на 7. Для того, чтобы вся сумма делилась на 7 нужно, чтобы последнее слагаемое этой суммы также делилось на 7. А последнее слагаемое в суммеa_2. 14²+a₁^.14+a₀ - это последняя цифра в записи числа a₂a₁a_{0 14.}

Можно сделать вывод, что число a₂a₁a_{0 14} в 14-ной системе счисления кратно 7, если последняя цифра в его записи 7 или 0.

Видно, что 437₁₄ -кратно, а 743₁₄ -не кратно семи.

Теперь я могу сформулировать верное утверждение:

Утверждение 1. Любое трехзначное число в 14-ичной системе счисления делится на 7 в том и только в том случае, когда последняя цифра этого числа делится на 7.

Просматривая еще раз свое решение, я заметил две вещи:

) если для делимости необходимо, чтобы последняя цифра (разряд единиц) делилась на 7, то не важно, сколько разрядов будет иметь число. Их может быть n;.

2) число a_n…a_{0 14} =a_n^. 14ⁿ+…+a₁^.14+a₀ делится на 7, если , т.к. 14 делится на 7. Вместо 14 взять числа 7 или 28, или другие числа, делящиеся на 7, и мой признак делимости остается справедливым.

Теперь я могу сформулировать верное утверждение:

Утверждение 2.

Пусть число А записано в системе счисления, основание которой делится на 7. Тогда число А делится на 7 в том и только в том случае, когда его последняя цифра делится на 7.

Я могу представить результат своего исследования в виде теоремы.

Теорема: Число

Доказательство. Верны равенства

 -

Из свойства делимости суммы следует, что последняя сумма делится на 7 тогда и только тогда, когда р делится на 7 и  делится на 7.Теорема доказана. Знак заменяет слова “тогда и только тогда, когда”.

15.Что в этом рассуждении вам понятно, а что трудно понять?

. Каким свойством решил воспользоваться старшеклассник, чтобы вывести признак делимости на 7?

.Почему, оказалось, достаточно рассмотреть всего 2 числа?

. Что старшеклассник сделал с числами 437₁₄ и 743₁₄?

.Какая закономерность была подмечена старшеклассником в записи трехзначных чисел в 14-ной системе счисления?

. Как вы думаете, зачем старшекласснику понадобилось просматривать еще раз свое решение? Что при этом выяснилось?

. Мог ли способ рассуждения старшеклассника привести к неверному выводу? Почему?

. Какие верные утверждения сформулировал старшеклассник?

. Как вы думаете, сомневается ли старшеклассник в том, что его теорема верна?

. Решил ли старшеклассник задачу?

. Какие задачи решили младший школьник, старшеклассник, ровесник? Сформулируйте их.

. Решите аналогичную задачу, опишите свои рассуждения и сравните с рассуждениями школьников, которые вы изучили. Что вы обнаружили?

Приложение 5

Первоначальный вариант текстов “помощники”.