Анализ литературы описывающей процесс математического исследования

Результаты научных исследований по математике излагаются в виде научных статей [4], [16], [18] и обзоров. За века математической науки установилась стандартная форма статей. До утверждений и теорем обязательно нужно привести все необходимые определения и леммы с доказательствами. После формулировки теоремы строгое доказательство и следствия с доказательствами.

Часто отмечается новизна полученных результатов и описание проблемы, которая была решена (или возникла, если проблема и есть результат исследования). Стиль изложения - “отстраненный”, изложение ведется от первого лица.

Заметим, что процесс исследования остается за рамками изложения, как было проведено математическое исследование, не обсуждается.

Однако некоторые авторы обращают внимание на процесс получения результатов (исследования). В этом параграфе я приведу анализ таких описаний некоторыми авторами:

1) Лакатос И. “Доказательства и опровержения”[23];

2) Носов Н.Н. “Витя Малеев в школе и дома”[25];

3) Вагутин В.Н. статья “Близкие дроби” из журнала “Квант”[7];

)   Пойа Д. “Математика и правдоподобные рассуждения”[28];

)   Адамар Ж. “Исследование психологии процесса изобретения в области математики”[1].

1). “Доказательства и опровержения”

Автор пытается показать, что теоремы не появляются из неоткуда, что они появляются через непрерывное улучшение догадок при помощи размышления и критики, при помощи логики доказательств и опровержений. Для этого берется стереометрическая теорема, касающаяся соотношения между числами сторон, вершин и граней многогранника, и разбираются ее возможные доказательства.

Изложение ведется в двух планах: один из них - это рассказ об исследовании связи между сторонами, вершинами и гранями многогранника в форме диалога между учителем и учениками. В процессе диалога рассматривается связь с обсуждением правильности рассматриваемых доказательств.

Таким образом, текст излагается в диалогической форме. Диалог ведется между учителем и 15 учениками (названными буквами греческого алфавита).

“… Альфа. Вообразите твердое тело, заключающееся между двумя всаженными друг в друга кубами, т. е. парой кубов, из которых один находится внутри другого, но не касается его. Этот полный куб делает не верной вашу первую лемму, так как после отнятия грани у внутреннего куба многогранник уже нельзя будет растянуть на плоскости. Не поможет отнятие грани и от внешнего куба. Кроме того, для куба V - E + F = 2, так что для полного куба V - E + F = 4.

Учитель. Очень хорошо. Назовем его контрапримером номер 1. Ну и что же?

Гамма. Сэр, ваше спокойствие удивляет меня. Один отвергает догадку так же эффективно, как и десять. Ваша догадка и ее доказательство полностью взорваны. Руки вверх! Вам нужно сдаться. Сотрите ложное предположение, забудьте о нем и попробуйте найти радикально новый подход.

Учитель. Согласен с вами, что контрапример Альфы - серьезная критика этого предположения. Но нельзя сказать, что доказательство “полностью взорвано”… Мое доказательство действительно доказало предположение Эйлера в первом смысле, но не обязательно во втором… Я интересуюсь доказательствами, даже если они не выполняют их первоначального назначения. Колумб не достиг Индии, но он открыл нечто очень интересное”.

Другой план в книге составляют подстрочные примечания, дающие действительную историю доказательств и вскрывающие ошибки, которые делались при этом математиками 19 века. Диалоги учеников - это по существу и есть наглядное отражение этой истории.

Структура текста линейная, если ты не прочитал предыдущий параграф, то тебе будет не совсем понятно, то, что говорится в последующих параграфах.

Текст построен в следующем порядке:

. Учителем ставится задача;

2. Учителем дается доказательство;

Далее текст построен в виде цикла состоящего из следующих этапов:

. Ученики пытаются опровергнуть доказательство. Высказываются догадки, пытаются опровергнуть догадки, испытывают разными способами. Результат подкрепляет догадку и наводит на мысль, что она может быть доказана.

4. Ученики пытаются доказать.

“Учитель. На нашем последнем уроке мы пришли к догадке относительно многогранников, а именно: что для всех многогранников V - E + F =2, где V - число вершин, E - число ребер и F - число граней. Мы испытали ее разными способами. Но мы пока не доказали ее. Может быть, кто-нибудь нашел доказательство?

Сигма. …пока не придумал строгого доказательства этой теоремы… Но если у вас есть доказательство, то, пожалуйста, дайте его.

Учитель. Действительно, я его имею. Оно состоит в следующем мысленном эксперименте…

Дельта. Вы должны назвать это теперь теоремой. Теперь здесь уже нет ничего из области догадок”.

В тексте используются метаязык: лемма, доказательство, контрпример, теорема, определение. Метаязык вводит учитель, т.к. он самый компетентный в вопросе исследовании.

У каждого персонажа в этом тексте своя роль. Я рассмотрю роли пяти персонажей, на мой взгляд, самых главных: учителя, ученика Альфа, ученика Бета, ученика Гамма, ученика Дельта.

Учитель

Учитель предлагает содержательные ходы, например, дает доказательство, которое далее пытаются опровергнуть. Также он направляет урок в нужном направлении. Например, он говорит: “Давайте прервем вашу дискуссию и вернемся к нашему рассуждению”.

Учитель вводит термины при помощи, которых можно описать исследование.

“…давайте введем такую терминологию. Локальным контрпримером я буду называть пример, который отвергает лемму (не отвергая необходимо основную догадку)…”.

Также он выделяет в высказываниях учеников определения и контрпримеры, и нумерует их. Учитель вводит метаязык, т. к. он более опытен в вопросе исследования.

Если ученики опровергают лемму, доказательство, предположение или определение, предложенное учителем, то учитель заменяет это на другое похожее, но более точное или слегка измененное.

“Я легко могу переработать, улучшить доказательство, заменив неверную лемму слегка исправленной, которую ваш контрпример не сможет опровергнуть…”

Также учитель уточняет высказывания учеников.

“Каппа. Охотно соглашусь, что соответствующая такой операции лемма будет истинной: конечно, если мы вынимаем треугольники один за другим, так, чтобы V - E + F не изменилось, то V - E + F не будет изменяться.

Учитель. Нет. Лемма заключается в том, что треугольники в нашей сети могут быть перенумерованы так, что при вынимании их в правильной последовательности V - E + F не будет изменяться, пока мы не достигнем последнего треугольника ”.

2. Ученик Альфа.

Он усомневается.

“…Я вижу, что этот эксперимент можно выполнить с кубом и с тетраэдром, но как я могу знать, что его можно произвести с любым многогранником. Кстати, уверены ли вы, сэр, что всякий многогранник после устранения одной грани, может быть, развернут плоско на доске? У меня есть сомнения относительно вашего первого шага”.

Приводит контрпримеры, опровергает. Опровержение и контрпример Альфы приведены в процитированном куске текста, который показывает, что у Лакатоса изложение ведется в диалогической форме. В контрпримерах он “изобретает” почти все рассматриваемые многогранники, которые Дельта называет “монстрами”.

Мне кажется, что Альфа самый умный ученик.

. Ученик Бета.

Является серединой между Альфой и Дельтой. Тем, что он относит многогранники Альфы в отдельный случай и говорит, что они являются исключением, он как бы поддерживает Альфу. А тем, что он предлагает устранить этих “монстров” для правильности первоначальной догадки, он поддерживает Дельту.

Бета дает определения, выделяет формулы и старается “сделать их совершенными”. Выделяет свой метод - “методом устранения исключений”, и использует его для точного определения области, в которой является правильной догадка Эйлера.

Он легко принимает критику и быстро изменяет свои утверждения относительно критике.

“Бета. Для всех многогранников, не имеющих полостей (вроде пары куб в кубе) и туннелей (как рама картины), V - E + F =2.

Учитель. Вы уверены?

Бета. Да, вполне.

Учитель. А как быть с тетраэдрами-близнецами?

Бета. Извините. Для всех многогранников, которые не имеют полостей, туннелей и “кратной структуры””.

4. Ученик Гамма.

Задает вопросы.

“Уверены ли вы, что когда вы будете откидывать треугольники один за другим, то получите только две альтернативы - исчезновения одного ребра или одной вершины? Уверены ли вы также, что в конце процесса, останется только с одним треугольником? У меня есть сомнения относительно вашего третьего шага”.

Гамма задает вопросы и этим старается добиваться точности.

“Учитель. Подозрение - это еще не критика.

Гамма. А контрпример будет критикой?”

“Гамма. Значит, догадка может быть верной, но ваше доказательство ее не доказывает?”

5. Ученик Дельта.

Дельта старается все определить.

“…Я ищу порядка и гармонии в математике…”

“…Многогранник может быть поверхностью: он имеет грани, ребра, вершины, он может быть деформирован, растянут на доске, и ему нет никакого дела до понятия о “твердом теле”. Многогранник есть поверхность, состоящая из системы многоугольников”.

Дельта - это консерватор. Говорит, что многогранники можно определить так, что они будут удовлетворять теореме Эйлера. Насчет таких отношений Дельты Альфа позже делает такое высказывание: “Дельта я поражен. Я думал, что на свете не существует гипотез, которые вы смогли бы спасти от уничтожения при помощи, подходящей лингвистической хитрости”.

“Дельта. Но зачем же принимать контрапример? Вы доказали вашу догадку - теперь она стала теоремой. Я принимаю, что она несогласна с этим так называемым контрапримером. Кто-то из них должен уйти. Но почему же должна уходить теорема, если она была доказана. Нужно отступить “критике”. Это поддельная критика. Пара всаженных кубов совсем не будет многогранником. Это монстр, патологический случай, а не контрапример”.

Мне кажется, что роль Дельты такова, что он своим консерватизмом, своим “отрицанием” побуждает других, доказывая ему обратное придумывать контрпримеры, формулировать определения, делать новые догадки и доказывать их.