Кинематика деформирования стержней.

Биомеханика.

Современная теория биомеханики имеет в своей основе системно-структурный подход к рассмотрению явлений и процессов (как конкретизацию диалектико-материалистического понимания): субстрата движений (тело человека), самих процессов движения (двигательные действия) и их развития.

Системно-структурный подход представляет собой принцип научного познания целостности сложных объектов и процессов (систем), исходя из взаимодействия элементов (структура систем), из которых они состоят. Системно-структурный подход как методологическая основа в известной мере объединяет механическое, функционально-анатомическое и физиологическое направления в развитии теории биомеханики. Существо этого подхода заключается в изучении явлений как целостных сложных объектов (системы). Понятие о системе (целом), в котором множество элементов (ее состав) закономерно объединено взаимными связями, взаимозависимостью (ее структура), стало общепризнанным в современной науке. В биомеханике этот подход проявляется в изучении тела человека и его движений как сложных систем. [9], [12]

На возникновение биомеханики как науки о движениях животных оказало решающее влияние развитие механики. Классическая механика описывает движения материальной точки и абстрактного абсолютно твердого тела. На ее основе разрабатывалось и учение о движении абсолютно упругого тела.

Математические науки, сыгравшие свою роль в развитии механики, в дальнейшем разрослись в самостоятельные области знаний. Их применение в биомеханике все более расширяется. Речь идет не только о математической обработке собранного материала, но и о самостоятельных математических методах исследования (в частности, о моделировании).

Элементы движений: а) суставные движения звеньев и систем звеньев (элементарные действия) и б) фазы движений. Для изучения движений строят модель тела – биомеханическую систему.

Кинематические цепи. Множество частей тела, соединенных подвижно, образует биокинематические цепи. К ним приложены силы (нагрузки), которые вызывают деформации и изменения движений. Механические свойства (особенности строения и функции) этих цепей влияют на выполнение движений.

Биокинематическая пара – это подвижное (кинематическое) соединений двух костных звеньев, в котором возможности движения определяются строением соединения и управляющим воздействием мышц.

Биокинематическая цепь – это последовательное (или разветвленное) соединение ряда биокинематических пар. В незамкнутых цепях имеется последнее («свободное») звено, входящее лишь в одну пару; в замкнутых цепях нет свободного конечного звена, каждое звено входит в две пары. [9]

Если на физическое тело не наложено никаких ограничений (связей), оно может двигаться во всех трех измерениях, т.е. относительно трех взаимно перпендикулярных осей (поступательно), а также вокруг них (вращательно). Следовательно, у него шесть степеней свободы. [35]

Каждая наложенная связь уменьшает количество степеней свободы. Зафиксировав одну точку свободного тела, сразу лишают его трех степеней свободы – возможных линейных перемещений относительно трех основных осей координат. Закрепление двух точек тела равносильно фиксации его на оси, проходящей через эти точки: остается одна степень свободы. Закрепление третьей точки, не лежащей на этой оси, полностью лишает тело свободы движения. Следовательно, такое соединение к суставам не относится. Так как почти во всех суставах тела человека имеется две и более степеней свободы движения, каждое такое соединение является неполносвязным механизмом. В нем, следовательно, заключены возможности множества механизмов. [12]

Кости, соединенные подвижно, образуют основу биокинематических цепей. Приложенные к ним силы (мышечной тяги и др.) действуют на звенья биокинематических цепей, как на рычаги. Это позволяет передавать действие силы по цепям на расстояние, а также изменять эффект приложенных сил.

Костные рычаги, подвижно соединенные в суставах, могут под действием приложенных сил сохранять положение и изменять его. Для равновесия либо равномерного вращательного движения звена как рычага необходимо, чтобы противоположно направленные моменты сил относительно оси рычага были равны. При ускорении звена один момент силы преобладает над другим.

Момент движущих сил, преобладая над моментом тормозящих, придает звену положительное ускорение (в сторону движения). Момент тормозящих сил, если он преобладает, вызывает торможение звена. Для сохранения положения звена в суставе, естественно, необходимо равенство моментов сил. [9], [12]

Работа, совершаемая силой, приложенной на плече рычага, передается на другое плечо.

Сила тяги мышцы обычно приложена на более коротком плече рычага, и поэтому плечо ее силы невелико. Это связано с тем, что в большей части случаев мышцы прикрепляются вблизи суставов. В тех же случаях, когда они расположены вдоль звена и прикрепляются вдалеке от сустава, угол тяги мышцы очень мал и поэтому плечо силы также очень невелико. В связи с этим мышцы, действующие на костные рычаги, почти всегда дают выигрыш в скорости, естественно, проигрывая в силе. [9]

В связи с особенностями приложения мышечных тяг к костным рычагам возникают значительные напряжения мышц при скоростных движениях. Выигрыш в скорости и укрепление суставов требуют значительного развития силы мышц. [12]

Тело человека – самодвижущаяся система, в которой передача движения от звена к звену неоднозначна. Следовательно, надо разбирать силы, определяющие движение в каждом звене. У самодвижущихся систем силы, приложенные к многим подвижным звеньям, нельзя заменить равнодействующими: каждое звено движется под действием именно к нему приложенных сил. При этом не следует отбрасывать действие противоположно направленных сил, поскольку в биомеханике особенно важна роль каждой силы, ее вклад в движение, задачи совершенствования ее использования.

Силы, приложенные к звеньям тела, создают относительно осей суставов моменты. Действие их в основном такое же, как и самих сил, - ускоряющее, замедляющее, поворачивающее. В конечном счете именно действие этих моментов сил и вызывает изменение положений тела и изменение движений. Говоря коротко, действие сил вызывает изменение движений. [9], [12]

При биомеханическом разборе движений особенно важно глубоко понимать физическую сущность действия сил на биокинематические цепи.

На тело человека при выполнении физических упражнений действует множество сил, играющих разную роль.

Во-первых, надо выделить силы, которые обеспечивают сохранение позы и положения, - уравновешивающие силы. Под действием этих сил тело «отвердевает», т.е. ряд подвижных звеньев обращается как бы в одно звено. Так фиксируется либо положение всего тела человека, либо положение части его звеньев – опорных.

Во-вторых, надо выделить силы ускоряющие, под действием которых изменяются скорости звеньев, направления их движений, увеличиваются или уменьшаются количество движения, кинетический момент, кинетическая энергия тела.

И те и другие силы деформируют ткани тела, на что расходуется значительная часть механической энергии. Источниками всей механической энергии служит работа сил: внутренних относительно тела человека и внешних. В земных условиях внешние силы действуют на тело человека непрерывно. Они подводят механическую энергию, действуя в направлении движения, и отнимают ее, действуя в противоположном направлении.

Кроме того, тело человека как самодвижущая система несет в себе запасы химической энергии, которая превращается в потенциальную (механическую) энергию напрягающихся мышц и далее в кинетическую энергию движущихся звеньев тела. Так возникают внутренние силы – усилия мышц.

Силы, приложенные к телу человека, определяют его движения. Движения же самого человека определяют силу его действия на внешнее физическое окружение. Сила действия человека передается через его рабочие точки в форме передачи движения (количество движения, кинетический момент) и в форме передачи кинетической энергии поступательного и вращательного движения. [9]

Гимнаст сохраняет положение тела в исходных и конечных неподвижных положениях, а также в равновесиях. Кроме того, почти во всех упражнениях бывает необходимо сохранять положения в отдельных суставах. Положение тела зависит: 1) от позы (взаимное относительно расположение звеньев тела); 2) от его ориентации в пространстве; 3) от местоположения тела в пространстве; 4) от отношения тела к опоре. Для сохранения положения тела нужно закрепить звенья в суставах и не допустить, чтобы внешние силы изменили его ориентацию в пространстве, местоположение (исключить повороты и перемещения) и его связь с опорой. Названные задачи решаются посредством уравновешивания действующих сил и моментов сил. Основу сохранения положения тела составляет уравновешивание сил.

Устойчивость тела человека определяется его возможностями активно уравновешивать возмущающие силы, останавливать начинающееся отклонение и восстанавливать положение. Гимнаст, стремясь сохранить положение (даже утратив равновесие), с помощью активных действий может еще восстановить положение в известных пределах отклонения. Зона восстановления положения – это область, в которой невозможно равновесие, но из которой гимнаст еще способен вернуться в заданное положение.

Поза тела характеризует взаимное расположение звеньев тела относительно друг друга. Нельзя смешивать понятия «положение тела» и «поза тела», поскольку положение тела характеризуется помимо позы еще ориентацией и местом тела. [12]

В анатомии для описания поз и движений в суставах используют термины: сгибание – разгибание, отведение – приведение, пронация – супинация и другие производные от названных. Эта терминология описательная. Она не основана на изучении особенностей движения в отдельных суставах (например, движения сочленяющихся суставных поверхностей при сгибании в тазобедренном и коленном суставах совершенно различны). При биомеханическом описании движений в суставах в трехмерном пространстве обычно используют углы Эйлера. А чтобы в этом случае можно было использовать аппарат теоретической механики, делают, как правило, следующие предположения:

1. Звенья модели (тела человека) абсолютно твердые. Поскольку это предположение во многих случаях для туловища нельзя считать оправданным, его моделируют системой из двух или трех звеньев.

2. Геометрические параметры звеньев модели (их длина и т. п.) совпадают с соответствующими параметрами сегментов тела человека.

3. Звенья модели соединены в идеальные кинематические пары III класса (шаровыми шарнирами).

Модели такого типа получили название базовых.

Моделирование суставов идеальными шарнирами, предполагающее, что любое движение в суставе – это сферическое движение относительно неподвижного центра, упрощает реальную ситуацию. В действительности положение мгновенных осей вращения может меняться. Важность этого обстоятельства, и, следовательно, возможность пренебрегать им зависит от изучаемых вопросов. В частности, смещение осей вращения не изменяет существенно геометрию масс, но оказывает сильное слияние на плечи сил отдельных мышц. Смещение мгновенных осей вращения объясняется тем, что в суставах возможны три основных типа движений сочленяющихся поверхностей: скольжение, что соответствует повороту звена относительно оси, сдвиг и качение.

Вопрос о числе степеней свободы подробно изучался польскими исследователями, которые, рассматривая проблему с точки зрения теории машин и механизмов, определяют тело человека – как сложный биомеханизм, кости – как жесткие звенья, а суставы – как кинематические пары определенных классов. [9], [12]

Резюме: задача расчета криволинейных стержней интересна тем, что как система пространственных криволинейных стержней может рассматриваться опорно-двигательный аппарат человека, где один стержень – это один конечный элемент. К примеру, 16 ребер человека будут составлять 16 конечных элементов.

Cтержни.

 

Пусть в пространстве задана некоторая гладкая кривая уравнением r = `r(s), где где r – радиус-вектор точки в декартовой системе координат,  – параметр, имеющий смысл длины дуги. Располагая вектор-функцией r(s) можно считать известными геометрические характеристики кривой в окрестности произвольно выбранной точки этой кривой. Представим себе плоскую фигуру, в общем случае деформируемую, которая движется по этой кривой, будем полагать площадь фигуры функцией дуговой координаты: A = A ( s ).

 Будем считать, что задана плоская фигура и для нее определен центр тяжести и главные центральные оси инерции. Выберем на кривой начало отсчета – точку О, совместим ее с центром тяжести фигуры и повернем фигуру так, чтобы одна из главных центральных осей инерции была направлена вдоль нормали, а вторая – вдоль бинормали. [2], [28], [29]

Тогда касательная к кривой перпендикулярна плоской фигуре. В дальнейшем таким образом расположенную плоскую фигуру будем называть поперечным сечением.

Перемещая плоскую фигуру вдоль кривой так, чтобы описанное положение главных осей инерции не изменялось, получим объем, ограниченный начальным и конечным положением фигуры (торцами) и поверхностью, которую заметает контур С.

Если заполнить этот объем деформируемой средой, то полученное тело называют стержнем.

По умолчанию предполагается, что расстояние между торцами, отсчитанное вдоль образующей, превосходит наибольший характерный размер поперечного сечения. Будем считать, что внутри стержня изменение физико-механических характеристик (плотности, модулей упругости и т.д.) определяется гладкими и непрерывными функциями координат. То же самое можно сказать и о фигуре поперечного сечения. [5]

Если имеются нерегулярности физико-механических или геометрических свойств, то такой объект будем называть стержневой системой.

Классификация стержней осуществляется по следующим признакам:

1) вид оси стержня: прямые стержни, плоские криволинейные, пространственные, естественно-закрученные.

2) по изменению геометрических и физических характеристик вдоль оси: однородные (когда все постоянно), неоднородные (когда хоть что-нибудь меняется).

3) по форме поперечного сечения: круглого, квадратного сечения стержни и т.д.

4) по соотношению размеров: если длина стержня имеет порядок более десяти размеров поперечного сечения и если аналогичное соотношение существует между наименьшим радиусом кривизны и характерным поперечным размером, то стержень называют толстым, а все, что между ними – стержень средней толщины.

Кинематика деформирования стержней.

Деформирование стержней связано с движением поперечного сечению совместно с осью. Для сведения задачи о деформировании стержней к одномерной, принимается геометрическая гипотеза, позволяющая определить распределение продольных перемещений по поперечному сечению. Деформирование стержней рассматривается на основании кинематической гипотезы Бернулли: поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные его оси до деформирования, остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформирования

`r = r<sub>n</sub> × `n + r_b ×`b

`r¢ = r<sub>n</sub> × `n¢ + r_b ×`b¢

Кинематическая гипотеза Бернулли исключает из рассмотрения эффект Пуассона, то есть уменьшение поперечного сечения при одноосном растяжении прямого стержня. Это является одним из источников погрешности теории стержней, основанной на гипотезе Бернулли. [22]

В соответствии с принятой гипотезой деформирование стержня можно рассматривать как следствие относительного движения двух близко расположенных поперечных сечений.

Допустим, что одно из этих сечений неподвижно. Если второе поперечное сечение перемещается относительно первого таким образом, что нормаль к поперечному сечению всегда совпадает с вектором t недеформированной оси, то говорят, что стержень находится в состоянии растяжения/сжатия.

При таком виде напряженно-деформированного состояния отсутствуют деформации сдвига, а деформация растяжения/сжатия любого волокна, эквидистантного оси стержня, не зависит от длины радиус-вектора `r.

Если второе поперечное сечение поворачивается в пространстве относительно вектора `t, причем последний не меняет своего направления, то такое напряженно-деформируемое состояние называется кручением. [11], [25]

При рассмотрении кручения пренебрегают удлинением волокна, связанным с его поворотом (эффект Пойнтинга). Такое допустимо только при малых углах относительного поворота.

Если при деформировании поперечное сечение поворачивается относительно единичных векторов `b и `n, то говорят, что стержень находится в состоянии изгиба.

Если второе поперечное сечение перемещается по направлению нормали или бинормали и при этом не поворачивается, то такое напряженно-деформируемое состояние называют сдвигом.

В дальнейшем при рассмотрении различных напряженно-деформированных состояний будем считать перемещения оси стержня малыми, имеющими порядок половины наименьшего размера поперечного сечения;

угловые перемещения также будем считать малыми в смысле sinq » q, cosq » 1.