Математическая модель динамики криволинейного стержня

Рассмотрим известную математическую модель деформирования цилиндрической пружины. Ее ось описывается винтовой линией:

( 4.1)

где х, y, z – декартовы координаты точки оси, R – радиус витка, y = сonst – угол подъема витка.

При формулировке уравнений состояния стержня приняты следующие системы координат: (x , y , z) – неподвижная декартова система координат; (x, h, z) – подвижная система координат, представляющая собой трехгранник Френе [22], начало которого находится в центре тяжести сечения витка, а его положение относительно начала пружины определяется дуговой координатой s. Производная по длине дуги определяется выражением:

,

( 4.2)

кривизна и крутка винтовой линии:

.

( 4.3)

Базисные векторы подвижного трехгранника имеют вид:

( 4.4)

 Принимаются следующие основные гиптезы:

1. Материал стержня линейно-упругий, подчиняющийся закону Гука.

2. Деформации растяжения/сжатия и сдвиги считаются малыми.

3. Поперечные сечения, плоские до деформации, не искривляются и не меняют своих поперечных размеров и остаются перпендиулярными к деформированной оси стержня (гипотеза плоских сечений).

4. Волокна, параллельные оси стержня, не надавливают друг на друга. .

5. Перемещения считаем малыми по сравнению с размерами пружины.

6. Угол подъема витка пружины считаем малым.

Гипотезы 3 и 4 (Кирхгоффа) обеспечивают отсутствие нормальных напряжений на площадках, параллельных оси стержня. Последняя гипотеза позволяет считать виток пружины тором (плоским замкнутым кольцом). При таких предположениях можно получить несвязанные между собой уравнения малых колебаний эквивалентного бруса [5], которые описывают продольные, крутильные, поперечные колебания и колебания в плоскости витка. Полная система уравнений, описывающая малые колебания, имеет вид:

 - продольные колебания;

( 4.5)

 - крутильные колебания,

( 4.6)

- поперечные колебания.

( 4.7)

Колебаниями в плоскости витка, связанными с изменением его диаметра и поворотом относительно оси пружины пренебрежем. В последних формулах приняты обозначения:

- продольная жесткость,

( 4.8)

- крутильная жесткость,

( 4.9)

- поворотная жесткость,

( 4.10)

- сдвиговая жесткость,

( 4.11)

- площадь эквивалентного бруса,

( 4.12)

 ,

( 4.13)

 моменты инерции тора относительно оси, перпендикулярной плоскости колебаний и относительно оси пружины,

-упругая продольная сила,

( 4.14)

Е, G, m - модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала пружины, d – диаметр проволоки, D – диаметр пружины, y - угол подъема витка. Эти характеристики определяют динамику эквивалентного бруса.

    Для уравнения ( 4.5) имеем общее решение однородного уравнения, описывающего свободные колебания [5]:

,

( 4.15)

где x=х/Н, а²=В₁/ r АН. Параметры a_k определяются из краевых условий:

( 4.16)

Так как пружина предварительно поджата с осадкой l₀, то начальное перемещение и скорость

,

то постоянные в ( 4.15) определяются разложением начальных условий в ряд Фурье по координате x:

( 4.17)

Это известное решение послужит в качестве теста для МКЭ.