Разбиение области на элементы. Симплекс-элемент.

Процесс дискретизации может быть разделен на два этапа: разбиение тела на элементы и нумерация элементов и узлов. Послед­ний этап логически совершенно прост, но усложняется в связи с нашим желанием повысить эффективность вычислений.

Дискретизация одномерного тела почти тривиальна, так как она сводится только к делению отрезка на более короткие участки. При решении задач методом конечных элементов используются разнообразные элементы. Линейный одномерный элемент с двумя узлами относится к группе симплекс-элементов. [1]

Метод конечных элементов основан на идее аппроксимации непрерывной функции (температуры, давления, перемещения и т. д.) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых элементами. В качестве функции эле­мента чаще всего применяется полином. Порядок полинома за­висит от числа используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции.

Классификация конечных элементов может быть проведена в соответствии с порядком полиномиальных функций этих элементов. При этом рассматриваются три следующие группы элементов: Симплекс-, комплекс- и мультиплекс-элементы. Симплекс-элементам соответствуют полиномы, содержащие константу и линейные члены. Число коэффициентов в таком полиноме на единицу больше размерности координатного пространства. Полином представляет собой симплексную функцию для двумерного треугольного элемента. Этот полином линеен по х и у и содержит три коэффициента, потому что треугольник имеет три узла.

                                        (3.1)

Симплекс-элемент представляет собой прямоли­нейный отрезок длины L с двумя узлами, по одному на каждом конце отрезка. Узлы обозначаются индексами i и j, узловые значения — через  и  соответственно.

Начало системы координат располагается вне элемента. Полиномиальная функция  для скалярной величины[1] имеет вид

.                                                    (3.2)

Коэффициенты  и  могут быть определены с помощью усло­вий в узловых точках:

при ,

при .

Эти узловые условия приводят к системе двух уравнений

,

,

решение которой дает

                                                   3.3)

и

                                                                            (3.4)

Подставляя найденные значения  и  в формулу (3.3), полу­чаем для  выражение, которое может быть переписано в виде

.                                  (3.5)

Линейные функции от х в формуле (3.5) называются функци­ями формы или интерполяционными функциями. Эти функций всюду обозначаются через N. Каждая функция формы должна быть снабжена нижним индексом для обозначения узла, к кото­рому она относится. Произвольную функцию формы будем обо­значать через . В соотношение (3.5) входят следующие функ­ции формы:

   и   .

Соотношение (3.5) может быть записано в матричном виде

,                                          (3.6)

где —матричная строка и  —вектор-столбец. Как видно из формулы (3.5), функция  равна единице в узле с номером i и равна нулю в j-м узле. Аналогично функция   равна нулю в i-м узле и равна единице в узле с -но­мером j. Эти значения характерны для функций формы. Они равны единице в одном определенном узле и обращаются в нуль во всех других узлах. [1], [7]