Уравнения метода конечных элементов: теория упругости.
Наша конечная цель — получить для узловых величин такие числовые значения, при которых соотношения для элементов очень точно аппроксимируют некоторый важный физический параметр. В задачах теории поля (перенос тепла, течение грунтовых вод, расчет магнитных полей и др.) минимизировался некоторый функционал. Этот функционал обладает тем свойством, что любая минимизирующая его функция удовлетворяет как исходным дифференциальным уравнениям, так и граничным условиям. Окончательные результаты, как для задач теории поля, так и для задач теории упругости, представлены в виде поверхностных и объемных интегралов, которые вычисляются при рассмотрении конкретных областей применения. [14] Решение задач теории упругости может быть проведено одним из двух методов. С помощью первого метода решают дифференциальные уравнения с заданными граничными условиями. Второй метод заключается в минимизации интегральной величины. Для решения задач теории упругости методом конечных элементов используется последний подход. Если задача решается в перемещениях и на границе заданы их значения, то нужно минимизировать потенциальную энергию системы. Если задача решается в напряжениях с заданными на границе усилиями, то нужно минимизировать дополнительную работу системы. Общепринятая формулировка метода конечных элементов предполагает отыскание поля перемещений и тем самым связана сминимизацией потенциальной энергии системы при отыскании, узловых значений вектора перемещений. После того как перемещения будут определены, можно вычислить компоненты тензоров деформаций и напряжений. [14], [15] Поскольку далее мы будем пользоваться формулировкой метода конечных элементов, связанной с минимизацией потенциальной энергии, приведем здесь теорему о потенциальной энергии. Из всех перемещений, удовлетворяющих кинематическим гра ничным условиям, стационарное (экстремальное) значение потенциальной анергии сообщают те перемещения, которые удовлетворяют уравнениям, равновесия. Важное требование этой теоремы состоит в том, что искомые перемещения должны удовлетворять заданным значениям на границе. Полная потенциальная энергия упругой системы может быть разделена на две части, одна из которых соответствует энергия деформаций в теле, а другая определяется потенциальной энергией массовых сил и приложенных поверхностных сил. В соответствии с этим запишем полную потенциальную энергию в виде , (3.7) где —энергия деформаций, a —потенциальная энергия приложенных сил. Работа внешних сил противоположна по знаку их потенциальной энергии: . (3.8) Из формул (3.7) и (3.8) получаем . (3.9) После разбиения области на элементы равенство (3.9) записывается е виде суммы . (3.10)
Общий случай. Энергия деформации бесконечно малого объема dV дается формулой , (3.11) где —полная деформация, а —начальная деформация. Величина называется плотностью энергии деформации, аполная энергия деформации получается интегрированием этой величины по объему тела: . (3.12) Вид векторных столбцов и зависит от того, какая задача решается. Например, для двумерного случая плоской деформации эти вектор - столбцы имеют вид и . В основе курса теории упругости лежат два важных соотношения: закон Гука, который связывает компоненты тензоров напряжений и деформаций, и соотношения связи между деформациями и перемещениями. Закон Гука в общей форме имеет вид , (3.13) где [ D ] содержит упругие константы материала. Соотношения связи между деформациями и перемещениями записываются как , , , , (3.14) где и, и w — компоненты перемещений в направления координатных осей х, у и z соответственно[2]. Эти компоненты перемещений были выражены в гл. 3 через узловые значения следующим образом: . (3.15) Здесь [ N ] —матрица функций формы. С помощью формул (3.14) можно выразить вектор деформации через узловые перемещения { U }.Общая форма этих соотношений такова . (3.16) Здесь [В] —матрица, получаемая дифференцировал нем надлежащим образом матрицы [ N ]. Фактические значения коэффициентов матрицы [В] зависят от вида используемого элемента и от типа рассматриваемой задачи. Поэтому точное определение [В] будет отложено до рассмотрения конкретных примеров. [30] Энергия деформации отдельного элемента с помощью формул (3.13) и (3.16) может быть записала в следующем виде: . (3.17) Последнее слагаемое в (5.68) не зависит от узловых значений , поэтому оно не влияет на процесс минимизации и в дальнейших ссылках не будет приниматься во внимание. [30] Работа, совершаемая внешними силами, может быть разделена на три различные части: работа , совершаемая сосредоточенными силами, работа , которая получается в результате действия компонент напряжений на внешней стороне поверхности, работа , совершаемая массовыми силами. Работу сосредоточенных сил легко определить, если в каждой точке приложения сосредоточенной силы поместить узел. Работа сосредоточенной силы равна произведению величины этой силы на длину пути, нa котором эта сила действует. Таким образом, работа отдельной силы равна . Обозначая узловые силы через {Р}, а узловые перемещения через { U }, совершенную работу можно записать в виде произведения матриц: . (3.18) Это определение предполагает, что силы разложены на компоненты, параллельные компонентам перемещений. Эта часть полной работы не входит в сумму (3.2), так как рассмотренные силы сосредоточены в узлах. [30], [34] Работа объемных сил χ, ỳ, £дается формулой где и, и w — компоненты вектора перемещений внутри элемента по осям х, у и z соответственно. Интеграл здесь необходим, так как и, и вместе с χ, ỳ и £могут изменяться внутри элемента. Используя равенство (3.14), формулу (3.18) можно переписать в виде . (3.19) Работа поверхностных сил определяется следующим образом: , (3.20) где и, и w — компоненты вектора перемещений, а рх, py и pz — компоненты вектора напряжений, параллельные координатным осям х, у и z . Сравнение формул (3.20) и (3.18) показывает, что они идентичны по форме. Поэтому . (3.21) Используя формулы (3.2), (3.10), (3.17), (3.19) и (3.21), получаем выражение для полной потенциальной энергии: , (3.22) Чтобы минимизировать величину П, продифференцируем выражение (3.22) по { U } в приравняем результат нулю. Эту операцию можно выполнить, используя дифференциальные соотношения Б1 и Б2. В результате будем иметь . (3.23) Интегралы в формуле (3.23) определяют для каждого элемента вектор нагрузки { f ( e ) } и матрицу жесткости , которые можно объединить следующим образом: . (3.24) В рассматриваемом случае — объемный интеграл вида , (3.25) а —сумма нескольких интегралов: (3.26) Матрица жесткости элемента (3.25) не содержит поверхностный интеграл, который встречается в задачах теории поля. [30] Глобальная матрица жесткости [К] и глобальный вектор-столбец { F } вматричном уравнении (3.27) даются соотношениями , (3.28) . (3.29)
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (227)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |