Алгоритм составления матричных характеристик ансамбля конечных элементов.

Термин «ансамбль конечных элементов» обозначает объединение отдельно взятых конечных элементов в единое целое – модель изучаемого тела.

Так как разрешающее уравнение МКЭ имеет смысл уравнения равновесия, то такое объединение в рамках метода перемещений осуществляется по кинематическому принципу: предположим, что в одном узле с глобальным номером М сходятся несколько конечных элементов с номерами n_i, i = 1, 2, … Если этот узел – общий для всех конечных элементов, то и компоненты его перемещений в глобальной координатной системе не зависят от номера конечного элемента. [11]

Математически это условие можно написать так:

(Простейшим примером такого объединения является объединение двух прямолинейных стержней в один при одноосном растяжении/сжатии).

Рис.12

Сформулируем алгоритм формирования матричной характеристики ансамбля конечных элементов. С этой целью введем информационные массивы, описывающие сетку конечных элементов.

Матрицу координат узлов XYZ, у которой столько строк, сколько узлов в сетке и столько столбцов, сколько независимых компонент по векторам перемещения, и матрицу связей, у которой столько строк, сколько узлов в конечном элементе и столько столбцов, сколько конечных элементов в ансамбле. Размеры матриц будем считать известными.

XYZ: N_y ´ n_ссу

Con:  n_уз ´ N_кэ

Кроме этого предполагают известными характеристики материалов.

M = N_уз × N_ссу

Рис.13

№ лок. узла.	№ КЭ	1	2	3	4	5
0		1	2	2	3	4
1		2	3	4	4	5

 

При решении задач статики в уравнение Лагранжа не входит работа внешних сил на перемещение ансамбля как абсолютно твердого тела. Вследствие этого, матрица жесткости ансамбля имеет ранг

r = M = N_уз × N_ссу - N_AT

где N_AT – число степеней свободы абсолютно твердого тела (для плоской задачи N_AT = 3, для пространственной задачи N_AT =6).

Для этого, чтобы однозначно определить состояние ансамбля конечных элементов для него следует наложить не менее N_AT-связей.

При формулировке разрешающего конечно-элементного уравнения для ансамбля, мы предполагали вариации узловых перемещений не равными нулю, откуда следовало, что множители при них – нулевые и каждый такой множитель давал одно разрешающее уравнение. [1], [3]

Если на ансамбль наложены кинематические связи, т.е. заданы законы движения некоторых узлов в виде

`u_k = f_k(t)                                         (3.4.1)

то вариации соответствующих узловых перемещений равны нулю, и множители при нулевых вариациях не обязательно равны нулю.

Следовательно, в разрешающей системе уравнений количество неизвестных больше количества уравнений на количество наложенных связей. Такая система уравнений имеет полный ранг, но количество неизвестных больше, чем количество уравнений. Рассмотрим простейший случай, когда кинематические условия однородны, т.е. f_k(t) = 0. В этом случае достаточно исключить из системы уравнений m_l, которые соответствуют вариациям заданных перемещений и заменить их на тождество q_m = 0.

Рассмотрим алгоритм удовлетворения однородным кинематическим краевым условиям. Исходными данными для этого алгоритма являются матрица жесткости ансамбля МЖА, вектор нагрузок ансамбля и список закрепленных степеней свободы. Этот список удобно оформить в следующем виде:

Все остальные столбцы, число которых равно N_ссц номеру степеней свободы узла, заполняются кодами закрепления:

1 – есть закрепления

0 – нет закрепления.

 

Этот алгоритм делает конечно-элементную систему расчетов более гибкой и экономичной в том смысле, что позволяет просчитывать несколько вариантов закрепления без формирования матричных характеристик ансамбля, которые предполагаются вычисленными заранее и сохраненными на магнитном носителе.

После выполнения этого алгоритма система уравнений имеет полный ранг и может быть решена. [3]

Для метода конечных элементов характерны плохо заполненные матрицы, т.е. в матрице жесткости примерно 80% элементов равны нулю. В связи с этим важным становится вопрос о способе хранения этой матрицы.

Нужно отметить, что способ хранения матрицы разрешающей системы уравнений накладывает определенные требования на алгоритм решения алгебраической задачи. Справедливо и обратное.

При решении задач метода конечных элементов наиболее универсальным является алгоритм Гаусса с частичным или полным выбором ведущего элемента. Это объясняется возможностью решения проблем для симметричной и несимметричной матрице и отсутствием ограничения на знак определителя.

Для решения задач статики при однородных краевых условиях оптимальным является алгоритм Халецкого, использующий верхнюю треугольную часть матрицы.

При очень высоких порядках систем > 10⁴ полезным оказывается итерационное уточнение по алгоритму Гаусса-Зейделя. [24]