Моделирование стержневых систем методом конечных элементов.

В методе конечных элементов основной идеей является замена исходной непрерывной системы (деформируемого тела) множеством связанных материальных точек.

Будем считать, что определена неподвижная система координат (глобальные координаты) по отношению к которой определяется движение материальных точек. В дальнейшем будем называть узлами материальные точки, принадлежащие деформируемому твердому телу, для которых указаны начальные координаты и нумерация, причем каждая точка имеет уникальный номер. Количество таких точек будем считать конечным. [11]

Рис.4

Некоторое множество таких точек принимают за вершины многогранника, причем множество всех возможных многогранников, определенное на множестве узлов, отличается тем, что многогранники не пересекаются между собой и полностью заполняют объем тела. Последнее требование может быть ослаблено вблизи границ тела, в том смысле, что грань многогранника, вершины которой принадлежат поверхности, может не принадлежать поверхности тела.

Такие многогранники, каждому из которых приписаны уникальные номера, называют конечными элементами.

Если установлено однозначное соответствие между номерами многогранников и номерами узлов, которые являются их вершинами, то говорят, что определена сетка конечных элементов. [6]

Переход от непрерывного тела к его конечно-элементной модели осуществляется путем выбора способа определения некоторой искомой функции в произвольной точке объема по ее значениям в узлах.

Рис.5

Функции, которые осуществляют эту интерполяцию, называют функциями формы. Основное отличие метода конечных элементов от других численных методов заключается в том, что интерполяция осуществляется только по узлам, принадлежащим конечному элементу.

 

                                                                      (3.1.1)

Функции формы, реализующие кусочную интерполяцию, наделяют следующими свойствами:

1) функции формы должны принадлежать множеству функций, интегрируемых в пределах конечного элемента.

2) функция формы с определенным номером К должна принимать значение, равное 1, в этом узле и равное 0 во всех других узлах. [1]

v_k (x_k, y_k, z_k) = 1;

v_k (x_i, y_i, z_i) = 0.

3) функция формы должна быть однозначной в пределах объема конечного элемента.

 

Если производится интерполяция с помощью некоторой функции, для которой не выполняется условие 2), но выполняются условия 1) и 3), то эту так называемую аппроксимирующую функцию следует нормировать, составляя систему уравнений.

Для определения значений функции в узлах в рамках МКЭ используются различные функционалы, минимум которых соответствует реальному значению искомой функции. Таким функционалом может быть невязка между строгим решением уравнения равновесия и приближенным решением; невязка между значениями функции на границе и заданными краевыми условиями.

Вариационный функционал Лагранжа (принцип возможных перемещений), вариационный функционал Кастильяно (принцип минимума дополнительной работы) и т. д. [6]

Выбор вариационного функционала определяет модификацию МКЭ: если используются функционалы невязки между значениями функции на границе или некоторыми дифференциальными операторами над ней в объеме, то МКЭ можно считать дискретным вариантом метода Бубнова-Галеркина. Если используется функционал Лагранжа, то МКЭ можно трактовать как вариант метода Ритца. [24]

Функции формы: 

Растяжение/сжатие, кручение - , где , изгиб -