Сетка конечных элементов для витка пружины
Для построения МКЭ-модели витка пружины введем следующие параметры сетки, принимая за основной полный полярный угол витка jmax=2p. Количество конечных элементов N е полностью определяет матрицу связей, которая вычисляется элементарно: ( 4.18) Здесь n1, n2 – глобальные номера узлов, соответствующие локальным номерам 1 и 2. Координаты узлов в глобальной декартовой системе вычисляются по формулам ( 4.1): ( 4.19) Для формирования матриц направляющих косинусов определим локальную систему координат конечного элемента, направляя ось x вдоль оси стержня. В глобальных координатах единичный вектор этой оси имеет вид: ( 4.20) Считая, что виток имеет круглое сечение, главные центральные оси инерции поперечного сечения можем выбирать произвольно. Примем, что одна из них направлена перпендикулярно плоскости, которая проходит через ось конечного элемента и перпендикулярна координатной плоскости xOy глобальной системы координат. Ее единичный вектор имеет вид: ( 4.21) Тогда третий единичный вектор определим так, чтобы они образовывали правую тройку: ( 4.22) Компоненты этих векторов образуют матрицу направляющих косинусов, позволяющую преобразовать компоненты вектора, заданного в локальных координатах, в глобальную систему координат: , ( 4.23) ( 4.24) где нижний индекс показывает, в какой СК определены компоненты вектора а: g соответствует глобальной, а l – локальной координатным системам (ГСК и ЛСК). Для установки связей между КЭ в ансамбле определим матрицы взаимной ориентации векторов: ( 4.25) что соответствует пересчету компонент вектора из ЛСК элемента n в ГСК, а затем – из ГСК в ЛСК элемента m. Это преобразование справедливо для компонент векторов перемещений, сил и моментов. Для преобразования углов поворота нормали вспомним, что углы поворота предполагаютмя малыми; тогда их можно ассоциировать с единичным вектором малого поворота трехгранника Дарбу, определенного в одном из узлов КЭ: ( 4.26) и преобразовывать его компоненты по формуле ( 4.23). Суммарный поворот (конечно, только при малости углов) можно представить вектором ( 4.27) и тогда пересчет углов поворота осуществляется по той же формуле ( 4.23). Вектор узловых перемещений в локальных координатах представляется в виде: ; его преобразование осуществляется с помощью блочно-диагональной матрицы, составленной из матриц взаимного поворота: ( 4.28) Матрицы жесткостей и масс для пространственного КЭ имеют вид, известный из литературы:
( 4.29) где ( 4.30) ( 4.31) ( 4.32) Приведенные формулы составляют математическую модель конечного элемента в виде прямого стержня постоянного сечения, произвольно ориентированного в пространстве. Объединение таких конечных элементов в ансамбль, т.е. получение матрицы жесткости и матрицы масс ансамбля КЭ, осуществляется стандартным алгоритмом МКЭ, программы, реализующие который в математическом пакете MathCad 7.0 Pro, приведены в приложении.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (242)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |