Методика изучения темы «Преобразование тригонометрических выражений».

В настоящее время все чаще используют инновационные технологии образования. Одним из вариантов является кейс-технология. Причем, ее использование возможно в сочетании с другими образовательными технологиями.

На основе проведенного исследования А. Долгоруким были выделены следующие этапы применения кейс-технологии на уроках математики: 1) подготовка и предоставление учителем учебно-методического материала по изучаемой теме каждому ученику; 2) планомерная и последовательная работа с учащимися по проработке каждого вопроса темы, предполагающая как самостоятельное изучение ребенком отдельных вопросов, так и работу в классе или индивидуальные консультации; 3) обязательное обобщение изучаемой темы учителем, выявление пробелов в изучении отдельных вопросов темы и их устранение; 4) диагностика по окончании изучения темы или раздела.

В соответствии с тематическим планированием составлено 13 фрагментов уроков по теме «Преобразование тригонометрических выражений», которые были реализованы в урочное время. 4 фрагмента по изучению нового материала, 4 – на закрепление, 1 – на актуализацию знаний, 4 – самостоятельных и контрольных работ.

На этапе контроля знаний проверяются уровни сформированности познавательного интереса с помощью умений решать кейсы, на этапах изучения нового материала, актуализации знаний и закреплении формируются уровни познавательного интереса и уровни умений решать кейсы.

Были разработаны следующие методические схемы применения кейс метода, направленные на формирование познавательного интереса.

§ Методическая схема решения кейс-заданий 1 уровня.

Фрагмент урока №1 по теме «Формулы двойного аргумента» (25.11.2009г).

Тип урока: изучение нового материала.

Цели:

образовательные: изучить формулы двойного аргумента и отработать умения по их применению;

воспитательные: воспитать внимание, умение отвечать на вопросы, активно участвовать в беседе, аргументировать свою точку зрения, умение слушать других;

 развивающие: сформировать умения анализировать данные, выдвигать гипотезы по определению основной проблемы, формирование познавательного интереса к математике.

Этап урока: изучение нового материала.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
- Перейдем к изучению нового материала. Откройте тетради, запишите число и тему урока «Формулы двойного аргумента». ( предлагает практический пример и создает ситуацию ) - На доске записаны тригонометрические функции. (предлагает систему вопросов для анализа ситуации) - Что можно с ними сделать? - По каким признакам мы можем их классифицировать? - Что у нас получится? - Еще? - Что получится? (подводит учащихся к формулированию проблем) - Какие аргументы у нас получились в каждом столбике? - Обратите внимание на последний столбик. - Как вы думаете, что нам нужно сделать с этими выражениями? (анализ данных) - Рассмотрим выражение . - Как называется в данном выражении? (выдвижение гипотез) - Как мы можем представить ? - Как дальше можем преобразовать? - Правильно. (решение проблемы) Учитель вызывает одного ученика к доске.     - Молодец. Садись. Перепишите еще раз начало и конец, и обведите в рамочку. (анализ полученных результатов) - Таким образом, что мы получили? - Аналогично выводится формула для . Учитель вызывает одного ученика к доске.     - Молодец. Садись. Запишите формулу и обведите в рамочку. (анализ данных) - В виде чего представлена данная формула?   (выдвижение гипотез) - Можно ли представить формулу так, чтобы она содержала в правой части только синус? - Как?   - Что получится? Диктуйте. (решение проблемы) - Запишите формулу и обведите в рамочку. - Можно ли представить формулу так, чтобы она содержала в правой части только косинус? - Как?     - Запишите каждый у себя в тетрадях. А Лашкевич Ольга запишет на доске. - Молодец. Садись. - Запишите формулу и обведите в рамочку. - А для  выведет формулу …..? Учитель вызывает одного ученика к доске.   - Молодец. Садись. Перепишите еще раз начало и конец, и обведите в рамочку. - Таким образом, мы с вами вывели три формулы двойного аргумента. - Скажите, пожалуйста, для каких значений аргумента справедливы формулы синуса двойного аргумента и косинуса двойного аргумента? - Правильно. А для каких значений аргумента справедлива формула тангенса двойного аргумента? - Какое здесь еще существует необходимое условие? - Данные формулы можно применять как справа налево, так и слева направо. - Разумеется, формулы двойного аргумента можно применять и в тех случаях, когда место аргумента  занимает более сложное выражение. - Может, вы скажете сразу, без вычислений, чему равен ? - Правильно. Молодцы.	(рассматривают пример)   (анализируют ситуацию)     - Классифицировать.   - По названию функций.     Дети классифицируют. - По аргументу. Дети классифицируют. (выдвигают гипотезы по определению возможных проблем) - В первом столбике – единичный аргумент, во втором – половинный, в третьем – двойной.   - Вывести формулы.     (анализируют данные)     - Аргументом.   (выдвигают гипотезу) - Как .   - По формуле синуса суммы.     Один ученик выходит к доске. Остальные выполняют в тетрадях. - .       - Мы вывели формулу двойного аргумента для синуса.   Один ученик выходит к доске. Остальные выполняют в тетрадях. - . (анализируют данные) - В виде двух тригонометрических функций. (выдвигают гипотезу) - Да.   - Выразить  по основному тригонометрическому тождеству.   - .     - Да.   - Тоже по тригонометрическому тождеству. Лашкевич Ольга выходит к доске и записывает: - .     Один ученик выходит к доске. Остальные выполняют в тетрадях. - .         - Для любых значений аргумента.   - Для тех значений аргумента , для которых определены  и .   - Знаменатель должен быть не равен нулю.     - .	Задание № 1.                                                              .       .     .     .       .         .

§ Методическая схема решения кейс-заданий 2 уровня.

Фрагмент урока №2 по теме «Формулы двойного аргумента» (25.11.2009г).

Тип урока: закрепление.

Цели:

образовательные: отработать умения по применению формул двойного аргумента;

воспитательные: воспитать внимание, умение отвечать на вопросы, активно участвовать в беседе, аргументировать свою точку зрения, умение слушать других;

 развивающие: сформировать умения анализировать данные, выдвигать гипотезы по определению основной проблемы, формирование познавательного интереса к математике.

Этап урока: закрепление.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
(создает ситуацию) - Даны корни уравнения  и . (подводит учащихся к формулированию проблем) - Что мы можем с ними сделать? - Каким должно быть уравнение? - А еще каким? (анализ данных) - Какое это будет уравнение, простейшее или сложное? - А как вы определили, что оно сложное?     (выдвижение гипотез) - В каком случае можно приравнять уравнения?   (поиск путей решения и решение проблемы) - Какое мы можем составить первоначальное уравнение? - Мы можем оставить такое уравнение?   - Дальше что нужно?     - Мы можем ее применить? - Почему?     - Что получится?   - Что получим? - Подобное задание будет в самостоятельной работе.	(выдвигают гипотезы по определению возможных проблем и выделяют основную проблему) - Найти уравнение, которому принадлежат эти корни. - Тригонометрическим. - На тему урока.  (анализируют данные) - Сложное. - Будет состоять из двух простейших. - Первому корню соответствует уравнение . Второму – . (выдвигают гипотезу) - Когда оба уравнения равны нулю. - . -   - .   - Да, но можем раскрыть скобки. - - Так как уравнение должно быть на тему урока, то нужно применить формулу двойного аргумента. - Нет. - Можно было применить, если бы перед  стояла двойка. - Нужно домножить обе части уравнения на 2. - . Отсюда, свернув по формуле синуса двойного аргумента, получим .	Задание № 2.     .   .   .   .   .   .   .     .

§ Методическая схема решения кейс-заданий 3 уровня.

Фрагмент урока №5 по теме «Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение» (02.12.2009г).

Тип урока: изучение нового материала.

Цели:

образовательные: повторить ранее изученный материал;

воспитательные: воспитать внимание, активно участвовать в беседе, аргументировать свою точку зрения, умение слушать других;

 развивающие: сформировать умения анализировать данные, выдвигать гипотезы по определению основной проблемы, находить оптимальные пути решения проблемы, формирование познавательного интереса к математике.

Этап урока: актуализация знаний.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
- Поработаем устно. (создает ситуацию, подводит учащихся к формулированию проблем) - Что вы видите на доске? - А еще? - Что это за формулы?     - Как вы думаете, зачем они записаны на доске? - У кого есть другие варианты? - Какую задачу мы поставим перед собой? (решение проблемы)   - Есть ли в первой формуле ошибки?   - Правильно. А во второй формуле?   - Правильно. В третьей формуле?   - В четвертой?   - А в пятой?     - Правильно. В шестой формуле?   - Есть ли ошибка в седьмой формуле?   - В восьмой формуле?   - В девятой?   - В десятой?   - В одиннадцатой формуле?     - И в последней формуле?   - Молодцы!	(выдвигают гипотезы по определению возможных проблем и выделяют основную проблему) - Равенства. - Формулы. - Преобразования тригонометрических выражений. - Чтобы вспомнить, и легче было решать задания. - В них допущены ошибки.   - Необходимо найти ошибки. (поиск путей решения и решение проблемы) - В первой формуле в правой части надо поменять знак на «+» и поменять функции  и  местами. - Во второй формуле между функциями  и  должен стоять знак « ». - В третьей формуле в знаменателе между  и  стоит знак умножения. - В четвертой формуле в числителе вместо знака «+» надо поставить знак «-» и поменять  на . - В пятой формуле надо поменять функции  и  местами. - В шестой формуле надо поменять числитель и знаменатель местами. - В седьмой формуле надо в правой части поменять знак на «-». - В восьмой формуле в правой части нет двойки и надо поменять  и  местами. - В девятой формуле все верно. - В десятой формуле тоже все верно. - В одиннадцатой формуле в числителе между  и  стоит знак «-», а в знаменателе после 1 стоит знак «+». - В двенадцатой формуле в числителе должно быть .	Задание № 7.   2)   3)   4)   5)   6)   7)   8)   9)   10)   11)   12)

§ Методическая схема решения кейс-заданий 4 уровня.

Фрагмент урока №8 по теме «Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму» (14.12.2009г).

Тип урока: закрепление.

Цели:

образовательные: закрепить формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму и отработать умения по их применению;

воспитательные: воспитать внимание, умение работать самостоятельно;

 развивающие: сформировать умения анализировать данные, выдвигать гипотезы по определению основной проблемы, находить оптимальные пути решения, решать проблему, формирование познавательного интереса к математике.

Этап урока: самостоятельная работа.

Деятельность учителя	Деятельность учащихся	Вид доски
( создает ситуацию ) - А сейчас самостоятельная работа. Подпишите листочки и номер варианта. Я раздам вам карточки. Каждая карточка содержит по 4 задания. Первые три задания общего характера. Четвертое задание творческого характера на отдельную оценку. В первом задании необходимо представить выражение в виде суммы, во втором – вычислить, в третьем – решить уравнение. В четвертом задании – дано выражение. Ваша задача сформулировать задание и решить его. Время для работы 20 минут. Критерии оценивания: 3 правильно решенных задания на «5», 3 задания с недочетами - «4», 2 задания на «3» и соответственно меньше двух заданий «2». Время пошло. Приступаем к выполнению заданий.	(рассматривают пример, анализируют ситуацию, выдвигают гипотезы по определению возможных проблем и выделяют основную проблему, находят пути решения и решают ситуацию)	Задание № 11. Дано выражение . Сформулируйте задание и решите.

Данное кейс-задание учащиеся выполняют самостоятельно.

В самостоятельной работе первые три задания общего характера, 4 задание – на формирование I, II, III и IV уровней познавательного интереса.

Самостоятельная работа. Вариант 1. 1. Представьте в виде суммы: . 2. Вычислите: . 3. Решите уравнение: . 4*. Дано выражение . Сформулируйте задание и решите.

Самостоятельная работа. Вариант 2. 1. Представьте в виде суммы: . 2. Вычислите: . 3. Решите уравнение: . 4*. Дано выражение . Сформулируйте задание и решите.

Общие критерии оценивания первых трех заданий:

«5» - верно выполненные 3 задания.

«4» - 3 задания с недочетами.

«3» - 2 задания.

«2» - менее 2 заданий.

Критерии оценивания кейс-задания:

1. Правильно сформулировано задание.

2. Правильно выполнены преобразования.

3. Применение формул преобразования тригонометрических выражений.

4. Найдено уравнение.

«2» - менее 2 пунктов (I уровень).

«3» - 2 пункта (II уровень).

«4» - 3 пункта (III уровень).

«5» - 4 пункта (IV уровень).

Вывод: Во второй главе выделены цели изучения темы «Преобразования тригонометрических выражений», классификация кейс-заданий, формирующая умения решать кейсы и уровни познавательного интереса. Составлено тематическое планирование. Разработана система заданий и методика работы над ними.

Глава 3.