ТЕМА 3. Основы финансово-экономических расчетов

Процентные деньги

Простые проценты

Сложные проценты

Расчет финансовых платежей

Учет уровня инфляции в финансово-экономических расчетах

Финансово-экономические расчеты представляют собой совокуп­ность методов определения стоимости денег в результате проведения экономических операций.

Суть расчетов заключается в исчислении стоимости денег в заданный момент времени в зависимости от опре­деленных условий, к которым относятся время, процентная ставка, условия финансовой операции.

Процентными деньгами, или процентами, называют сумму, кото­рую уплачивают за пользование денежными средствами (это доход владельца денежных средств). Различают следующие виды процентов:

• обычные и авансовые;

• простые и сложные.

В зависимости от момента выплаты или начисления дохода за пользование предоставленными денежными средствами выделяют:

обычные и авансовые проценты.

Обычные (декурсивные, postnumerando) проценты начисляются в конце периода.

Авансовые (антисипативные, prenumerando) проценты начисляются в начале периода. Т.е. доход за поль­зование денежными средствами определяется и выплачивается в момент предоставления кредита.

Наращивание денежных средств может осуществляться по арифметической или геометрической прогрессии.

Простыми называются проценты, которые начисляются в течение всего срока на первоначальную сумму (арифметическая).

Сложными называются проценты, когда база для их начисления постоянно меняется за счет присоедине­ния к ней ранее начисленных процентов.

Простые проценты

При использовании простых процентов будущая (наращенная) стоимостьденег (FV) рассчитывается по следующей формуле:

 ,

где PV - современная стоимость денег; n - срок финансовой опера­ции; i - ставка процента за период.

Эту формулу используют на практике, например, при определении суммы погашения ссуды, предоставленной под простые проценты, размера срочного вклада с процентами.

Пример 1. Банк выдал ссуду 100 д.е. ( PV= 100 д.е.) на два года (n = 2) под 10% годовых (i = 0,1). Определим подлежащую возврату сумму ( FV), если начисляются про­стые проценты в конце каждого года, а долг гасится единовременным платежом в конце второго года.

FV= PV(1+ in) = 100 (1+ 0,1 • 2) = 120 д.е.

Дисконтирование, или учет, - это определение современной стои­мости денег (PV) на основе будущей (FV). В этих расчетах величина PV называется приведенной стоимостью суммы FV. Приведение стоимос­ти денег может быть осуществлено не только на начало финансовой операции, но и на любой момент времени.

Расчет современной стоимости денежных средств, предоставляе­мых в долг, проводят по формуле:            .

Пример 2. Ставка размещения денежных ресурсов на три года ( n = 3) состав­ляет 20% ( i = 0,20). Какой объем средств необходимо разместить, чтобы в конце опера­ции получить 10 д.е. (FV =10 д.е.)?

PV = FV / (1+in) = 10 / (1 + 0,2 × 3) = 6,25 д.е;

Особое значение имеет так называемый коммерческий учет (бан­ковское дисконтирование) по ставке d, который называется антисипативным (авансовым) расчетом и чаще используется на практике.

Суть состоит в том, что с 1 д.е., которую предполагается получить в буду­щем, берется дисконтная (авансовая) ставка d. При этом должник по­лучает на руки сумму (1 - d) д.е., а по истечении срока должен вернуть 1 д.е.   Соответственно  кредитор  готов  сейчас  заплатить (1 - d) д.е., с тем чтобы в конце срока финансовой операции получить 1 д.е. В этом случае расчет наращенной суммы (FV) и современной стоимости ( PV) осуществляется по формулам:

;        .

Пример 3. Дата погашения дисконтного векселя 1 января 2002 г. Какова его выкупная цена и доход по векселю (дисконт) на 26 ноября 2001 г. (за 36 дней до даты погашения), если его номинал составляет 20 д.е., а вексельная ставка 20% годовых?

В этом примере d = 0,2, наращенная стоимость денег (номинал векселя) FV = 20 д.е., длина периода n = 36 : 360 = 0,1. Требуется определить современную стоимость денег (выкупную цену векселя) PV и доход по векселю (дисконт) D (D = FV - PV).

Решение: PV= FV (1 – nd) = 20 (1 - 0,1× 0,2) = 19,6 д.е.; D = FV- PV = 20 - 19,6 = 0,4 д.е.

Сложные проценты

Наряду с простыми процентами, как было указано выше, в прак­тике расчетов используются сложные. В этом случае стоимость, на ко­торую начисляются проценты, постоянно меняется.

Процесс расчета наращенной суммы с учетом присоединения к ней дохода, полученно­го за предыдущий период, называется капитализацией,илиреинвести­рованием.

По ставке декурсивных (обычных) процентов i расчет наращенной суммы к концу периода п проводится по формуле:   .

Пример 4. В банк на срочный вклад помещены денежные средства в размере 30 д.е. (PV= 30 д.е.). Условием договора предусмотрено, что вклад может быть востре­бован через три года (п = 3), за что банк обязуется ежегодно начислять 15% годовых (i = 0,15) по схеме сложных процентов. Определим, сколько вкладчик получит через три года, если банк выполнит свои обязательства?

FV = PV (1 + i)ⁿ = 30 (1+0,15)³ = 45,63 д.е.

Формула для расчета наращенной стоимости денег соответствую­щим образом модифицируется в зависимости от продолжительности процентного периода, числа начисление дохода по вкладу в течение года и других условий финансовой операции. Например:

,    где m - число раз начисления процентов в год.

,    где t – время; Y – число месяцев в году.

Расчет современной стоимости денег по сложной процентной ставке осуществляют по формуле:              .

В приведенных выше формулах  и  называются соответственно множителем наращения и дисконтирующим множителем.

Для практических расчетов имеются специальные таблицы, в которых приводятся значения этих коэффициентов в зависимости от размера ставки и периода наращения.

Пример 5. Определим, сколько необходимо внести в банк, чтобы через 3 года получить сумму, равную 45,63 д.е. (FV= 45,63), если процентная ставка равна 15% годовых (i = 0,15) (по таблице находим дисконтирующий множитель для заданных условий - он равен 0,657516232).

PV = FV× (1 / (1+i)ⁿ) = 45,63 • 0,657516232 = 30 д.е.

При банковском дисконтировании по сложной ставке процентов d расчет проводится по следующей формуле:     .

Пример 6. Клиент собирается купить загородный дом за 150 000 д.е. Для оп­латы покупки он берет кредит в банке на 2 года. Естественно, что услуга банка долж­на быть оплачена. Ее стоимость определяется банковскими процентами. Покажем, что расчет по декурсивной (обычной) i и дисконтной (авансовой) ставке d дает разные результаты.

При авансовом расчете, исходя из 10% годовых, будущая стоимость денег, которую должен будет вернуть клиент, составит:  FV = PV / (l-d)ⁿ = 150 000 / (l - 0,l)² = 185 185 д.e.,

а стоимость услуг банка: FV – PV = 35 185 д.е.

При расчете по декурсивным (обычным) процентам будущая стоимость денег и стоимость услуг банка составят:   FV = PV (l + i)ⁿ = 150 000 (l + 0,l)² = 181 500 д.e.,

а стоимость услуг банка: FV – PV = 31 500 д.е.

Как видим, кредитору (банку) выгоднее взимать проценты сразу в момент выда­чи кредита, а должнику предпочтительнее расплачиваться в момент погашения кре­дита.