Основы геометрической оптики. 1 страница

Кафедра Физики

 

Учебно-методический комплекс по дисциплине

Физика

 

Часть I I I

Оптика

 

Ростов – на -Дону 2010г.

 

 

Часть I I I Оптика

(36 часов)

 

Семестр

 

Лекция 1 (2 часа)

 

Основы геометрической оптики.

(Развитие учения о свете. Основные законы геометрической оптики. Принцип Ферма. Световой поток. Центрированная оптическая система. Сложение оптических систем. Преломление света на сферической поверхности. Формула тонкой линзы. Погрешности оптических систем. Оптические приборы. Геометрическая и оптическая длинапути. Полноеотражение. Отражение света от плоских и сферических поверхностей. Преломление света на плоских поверхностях. Призмы.)

 

Предварительные сведения

Оптика — раздел физики, который изучает природу света, световые явления и взаимодействие света с ве­ществом.

Оптика изучает волновые (например, дифракция, интерференция, поляризация) и квантовые (например, фотоэффект, люминесценция) свойства света, зако­номерности его излучения, а также распростране­ние, рассеивание и поглощение света в различных средах.

Оптическое излучение представляет собой элек­тромагнитные волны, и поэтому оптика является ча­стью общего учения об электромагнитном поле.

В зависимости от рассматриваемых явлений оптику делят на:

• геометрическую (лучевую),                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   • волновую (физическую),

• квантовую (корпускулярную).

В конце XVII в. Ньютон выдвинул теорию истечения световых ча­стиц (корпускул), которые летят прямолинейно и подчиняются за­конам механики. Согласно этой теории отражение аналогично отра­жению абсолютно упругих шариков при ударе о плоскость, а преломление света объясняется притяжением световых частиц преломляющей средой, из–за чего изменяются траектория их движения и скорость. Рас­четы приводили к ошибочному выводу, что скорость световых частиц в более плот­ных средах больше, чем в воздухе, но измерения скорости све­та, выполненные в 1850 г. Фуко, показали, что скорость света в более плотной среде меньше, чем в воздухе.

Современник Ньютона Гюйгенс выступил с другой теорией света — волновой. Согласно этой теории свет распространяется вслед­ствие волнового движения особой среды – эфира. Эфир заполняет все мировое пространство, пронизывает ве­щество и обладает такими свой­ствами как упругость и плотность. Таким образом, вол­новая теория рассматривала свет как волны в эфире, подобные звуковым волнам в воздухе или волнам на поверхности воды.

Для анализа распространения света Гюйгенс пред­ложил наглядный метод для анализа распространения света, названный впос­ледствии принципом Гюйгенса: к аждая точка среды , до кото­рой доходит световое возбуждение , является в свою оче­редь источником вторичных эле­ментарных волн . Поверхность , огибающая в некоторый момент времени эти вторичные волны, представляет собою огибаю­щую всех возникших элементарных полусферических волн, т.е. новое положение фронта волны (рис. 1–1).

Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t. Пусть в момент времени t фронт волны, распространяющийся в однородной изотропной среде, занимает положение S₁. Каждую точку этого фронта волны в интервале времени от t до Dt можно рассматри­вать как источник вторичных волн, которые будут представлять собой сферы радиуса uDt. В момент времени t + Dt поверхностью фронта вол­ны S₂ будет огибающая этих вто­ричных волн.

Механическое представление о природе распространения света является общей чертой волновой и корпускулярной теорий. В процессе их раз­вития был разработан строгий математический метод анализа оптиче­ских явлений, который сохранил свое значение и до настоящего вре­мени.

Недостатком волновой теории света Гюйгенса являлось то, что  она требовала существования эфира — гипотетической среды, в которой рас­пространяется свет (механические колебания). Дальнейшее развитие оптики (в частности, изучение явления поляризации) показало, что световые волны в отличие от звуковых являются попереч­ными. Поперечные волны упругости, т.е. волны механической природы, могут распространяться лишь в твердых те­лах, поэтому попытка наделить эфир свойствами твердого тела не получила подтверждения, так как эфир не оказывает заметного воздействия на движу­щиеся в нем тела.

Наука о свете накапливала экспериментальные факты, которые свидетельствовали о взаимосвязи между световыми, электри­ческими и маг­нитными явлениями и Мак­свелл в 70-х годах прошлого столетия создает электромагнитную теорию све­та, согласно которой

,                                 (1.1)

где с — скорость света в вакууме,u — скорости света в среде с      ди­электрической проницаемостью e  и магнитной проницаемостью m. Это со­отношение связывает оптические, электри­ческие и магнитные посто­янные вещества. Согласно Максвеллу, e и m  — величины, которые не за­висят от длины волны света, поэтому электромагнитная теория не могла объяс­нить явление дисперсии (зависимость по­казателя преломления от длины волны). Эта трудность была преодолена в конце XIX в. Лоренцем, предложившим элек­тронную теорию , согласно которой диэлек­триче­ская проницаемость e зависит от длины волны падающего света. Теория Лоренца ввела представление об электро­нах, колеблющихся внутри атома, и по­зволила объяснить явления испускания и поглощения света веществом.

Теория Максвелла и теория Лоренца были несколько противоречивы и при их применении встре­чался ряд затруднений. Обе теории опирались на гипотезу об эфире, только «упругий эфир» был заменен «эфиром электромагнитным» (теория Максвелла) или «неподвижным эфиром» (теория Ло­ренца). Теория Максвелла не смогла объяснить процессов испускания и погло­щения света, фотоэлектрического эффек­та, комптонов­ского рассеяния и т.д. Тео­рия Лоренца, в свою очередь, не смогла объ­яснить вопрос о распределении энер­гии по длинам волн при тепло­вом излуче­нии черного тела.

Перечисленные затруднения и проти­воречия были преодолены благодаря сме­лой гипотезе немецкого физика М. Планка (1900), согласно кото­рой излучение и поглощение света про­исходит не непрерывно, а дискретно, т.е. определенными порциями ( квантами ), энергия которых пропорциональна частоте n:

,                                       (1.2)

где h— постоянная Планка.

Теория Планка уже не нуждалась в по­нятии об эфире и уже в 1905 г. Эйнштейн создает квантовую теорию света , согласно которой не только излучение све­та, но и его распространение происходит в виде потока световых квантов — фото­нов , энергия которых определяется соот­ношением (1.2), а масса

.                    (1.3)

Квантовые представления о свете согласуются с законами излучения и поглощения света, взаимодей­ствия света с веществом, а явле­ния интер­ференции, дифракции и поляризации легко объясняются на основе волновых представлений. Таким образом, свет представляет собой единство противоположных видов движения — корпускулярного ( квантово­го ) и волнового ( электромагнитного ), т.е. мы приходим к со­временным представлениям о двойственной корпускулярно – волновой природе све­та . Выражения (1.2) и (1.3) связыва­ют корпускуляр­ные характеристики излу­чения (массу и энергию) кванта – с волновыми (частотой колебаний и длиной волны). Таким образом, свет представляет единство дискретности и непрерыв­ности.

 

Лекция 2 (2 часа)

 

Волновое уравнение.

(Электромагнитная волна. Волновое уравнение. Общее решение волнового уравнения. Плоская электромагнитная волна.)

Дифференциальное уравнение плоской электромагнитной волны

Чтобы не прибегать к сложным математическим выкладкам, рассмотрим электромагнитное поле в диэлектрической среде. Пусть это поле имеет следующие компоненты:

Т.е. электрическое поле имеет компоненты ‑ , магнитное поле имеет компоненты ‑ .

Т.к. среда ‑ диэлектрик, то токов проводимости нет ‑ . Кроме того, будем считать, что свойства среды не меняются с течением времени, т.е. .

В этом случае первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме будет иметь вид:

Операция ротора раскрывается как:

У электрического поля есть компонента только по оси . Поэтому уравнения Максвелла примет вид:

Отсюда вытекает ‑ . Магнитное поле однородно вдоль оси .

Таким образом, от этого уравнения Максвелла у нас осталось следующее уравнение:

    

Далее, рассмотрим второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

Аналогичным образом раскроем операцию ротора:

У магнитного поля есть только одна компонента по оси , поэтому:

Здесь мы тоже полагаем, что магнитные свойства среды не меняются с течением времени ‑ . Отсюда вытекает, что электрическое поле не меняется вдоль оси   ‑ . Т.е. свойства электромагнитного поля не меняются в плоскости , поэтому такое поле называется плоским.

Таким образом, от второго уравнения Максвелла у нас осталось следующее уравнение:

      

Следовательно, для нахождения двух неизвестных компонент электромагнитного поля мы получили систему двух уравнений:

       (А)

 

Уравнение плоской электромагнитной волны

Разрешим полученную систему, например, относительно компоненты электрического поля . Для этого первое уравнение системы (А) продифференцируем по координате , а второе ‑ по времени :

Отсюда, исключая , получим:

    (В)

Таким образом, мы получили дифференциальное уравнение второго порядка для нахождения компоненты вектора напряженности электрического поля.

Аналогичным же образом можно получить и второе уравнение для нахождения компоненты вектора напряженности магнитного поля:

(С)

Решение уравнений (В) и (C) имеет вид:

    (D)

Т.е. мы видим, что решение представляет собой плоскую волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси .

 

Характеристики электромагнитной волны

В уравнении электромагнитной волны , волновое число в общем случае определяется как . Найдем выражение для волнового числа   через параметры среды. Для этого найдем вторую производную от   по пространственной координате :

 

Далее, вторую производную от   по времени :

и подставим в исходное дифференциальное уравнение (B).

Упростим полученное выражение:

Получим теперь выражение для скорости распространения электромагнитной волны:

Или, окончательно:

                                                (5.9)

Если диэлектрическая среда вакуум, то тогда   и скорость света в вакууме будет равна:

    (5.10)

Найдем теперь отношение . Это отношение имеет размерность , следовательно, это отношение будет характеризовать сопротивление диэлектрической среды прохождению электромагнитных волн, т.е. волновое сопротивление. Для этого используем найденную первую производную от   по координате :

Найдем первую производную от напряженности магнитного поля по времени:

и подставим в первое уравнение системы (A):

Положим, что , тогда ‑

Подставив сюда выражение для волнового числа , получим:

Отсюда

         (Е)

Для вакуума ‑ , поэтому волновое сопротивление вакуума будет равно:

Лекция 3 (2 часа)

 

Интерференция света.

(Интерференция световых волн. Когерентность. Опыт Юнга. Оптическая разность хода, разность фаз. Условия интерференционного максимума и минимума. Ширина интерференционной полосы. Линии равной толщины и равного наклона. Интерференция на клине. Кольца Ньютона. Способы наблюдения интерференции. Практическое применение интерференционных явлений. Просветленная оптика.)

Ко­герентность и монохроматичность световых волн

Интерференция волн — это явление усиления или ослабления колебаний, которое происходит в результате сложения двух или     не­скольких волн с одинаковыми периодами, распространяющихся в про­странстве, и зависит от соотношения между фазами складывающихся колебаний.

Необходимым условием интерференции является их когерент­ность, т. е. равенство их частот и постоянная во времени разность фаз. Этому условию удовлетворяют только монохроматические свето­вые волны, т.е. волны с одинаковой частотой. При соблюдении данных усло­вий можно наблюдать интер­ференцию не только световых волн, но и звуковых, радиоволн и т. д.

Так как естественные источники не дают монохроматического света, то волны, излучаемые лю­быми независимыми источниками света (две электрические лампочки), всегда некогерентны. В двух самостоятельных источ­никах света атомы излу­чают независимо друг от друга. Процесс излу­чения длится очень короткое время  (t » 10^–8 с). За это время возбужден­ный атом возвращается в нор­мальное состояние и излучение им света прекращается. Возбудившись вновь, атом снова начинает испускать све­товые волны, но уже с новой начальной фазой. Разность фаз между из­лучением независимых атомов изменяется при каждом новом акте испускания, поэтому волны, излучаемые атомами любого источника света, некогерентны. Таким образом, волны, испускаемые атомами, лишь в течение интервала времени » 10^–8 с имеют примерно постоянные ам­пли­туду и фазу колебаний, тогда как за боль­ший промежуток времени и амплитуда и фаза изменяются.

Основная трудность для проявления интер­ференции света состоит в получении когерентных световых волн, но, как было показано, для этого непригодны излу­чения не только двух различных макроскопических источников света, но и различных атомов одного и того же источ­ника. Поэтому надо каким-либо способом разделить свет, излучаемый каждым атомом источника, на два потока волн, которые в силу общности происхождения будут когерент­ными. Затем надо заставить встретиться эти потоки после того, как они пройдут различные пути l₁ и l₂. Таким путем мы заставим встретить­ся волны, вышедшие из одного и то­го же атома, но в разное время и с таким малым запозданием одной относительно дру­гой, что когерентность будет иметь место (так как обе группы волн принадлежат к одному акту испускания атома).

2.2. Некоторые методы наблюдения интерференции света                                

2.2.1. Метод Юнга. Источником света слу­жит ярко освещенная щель S, от которой световая волна падает на две узкие равноудаленные щели S₁ и S₂, па­раллельные щели S. Таким образом, щели S₁ и S₂, играют роль ко­герентных источни­ков. Интерференционная картина (об­ласть R₂Q₁) наблюдается на экране (Э), расположенном на некотором расстоянии параллельно S₁ и S₂ (рис. 2–1а).

 

 

Проведем расчет интерференционной картины (рис. 2–1,б). Пусть разделение на две когерентные волны происходит в некоторой точке О. До точки М, где наблюдается интерференционная картина, одна волна прошла путь l₁ в среде с показателем преломления n₁, вторая волна – путь l₂ в среде с показателем преломления n₂. Если в начальный момент времени фаза колебаний равна wt, то в точке М первая волна возбудит колеба­ние , а вторая — колебание , где u₁=с/n₁ и u₂=с/n₂ — соответственно фазо­вая скорость первой и второй волны. Под х будем понимать на­пряженность электрического (световой вектор) или маг­нитного полей волны; векторы и ко­леблются во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Разность фаз колебаний d=j₂–j₁, возбуждаемых волнами в точке М, равна

.       (2.1)

В соотношении (2.1) мы учли, что ,

где l₀ –длина волны в вакууме.

Произ­ведение геометрической длины пути световой во­лны l в данной среде на показатель пре­ломления n этой среды называется оптиче­ской длиной пути, a  — раз­ность оптических длин  проходимых во­лнами путей — называется оптической разностью хода.

Если оптическая разность хода равна четному числу полуволн в вакууме (целому числу волн)

,                (2.2)

то  и колебания, возбуждаемые в точке М  обеими волнами, про­исходят в одинаковой фазе и будет наблюдаться интерферен­ционный максимум.

Если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн в вакууме

,                   (2.3)

то  и колебания, возбуждаемые в точке М  обеими волнами, бу­дут про­исходить в противофазе и будет наблюдаться интерферен­ционный минимум.

Пусть среда, в которой распространяется свет, однородная, а интерференция наблюдается в произвольной точке Вэкрана, параллельного щелям и расположенного от них на расстоя­нии L, причем . Показатель пре­лом-ления среды n = 1 (Рис. 2-2).

Интенсивность в точке Вопределяется оптической разностью хода . Из рисунка следует, что ,

, откуда .

Согласно условию , поэтому  и .

       Подставив это значение в условия максимума и минимума (2.2 и 2.3), получим координаты - где интенсивность света максимальна и  - где интенсивность света минимальна:

,                 (2-4)

.                     (2-5)

Ширина интерференционной полосы — расстояние между двумя сосед­ними максимумами (или минимумами)

.

    Согласно (2-4) и (2-5), интерференционная картина представляет собой чередование светлых и темных полос, параллельных друг другу. Главный максимум, соответствующий   m= 0, проходит через точку М. Вверх и вниз от него на равных расстояниях друг от друга располагаются соответственно максимумы (минимумы) первого (m = 1), второго (m = 2) порядков и т.д. Описанная картина справедлива только при освещении монохроматическим светом. В случае белого света интерференционная картина будет иметь вид радужных полос.

2.2.2. Зеркала Френеля. Свет от источника S (рис. 2–3) падает расходящимся пучком на два плоских зеркала МО и NO, распо­ложенных относительно друг друга под углом, лишь немного отличающимся от 180° (угол a мал).

Применяя правила по­строения изображения в плоских зерка­лах, можно показать, что и источник, и его изображения S₁ и S₂ (угловое расстояние между которыми равно 2a) лежат на од­ной и той же окружности радиуса r с цент­ром в O (точка соприкосновения зеркал), т.е. О S = О S₁ = О S₂ = r.

Световые пучки, отразившиеся от обо­их зеркал, можно считать выходя­щими из источников S₁ и S₂, которые являются мнимыми изображениями S в зеркалах. Источники S₁ и S₂ коге­рентны, и исходящие из них световые пуч­ки, встречаясь друг с другом, интерфери­руют в области взаимного перекрытия. Интерфе­ренционная картина наблюдается на экра­не (E) в области PQ. Для исключения попадания на экран пря­мых лучей света от источника S используется заслонка (E₁).

P

2.2.3. Бипризма Френеля. Бипризма состоит из двух одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами. Свет от источника S (рис. 2–4) преломля­ется в обеих призмах, в результате чего за биприз­мой распространяются световые лу­чи, как бы исходящие из мнимых ис­точников S₁ и S₂, являющихся когерентными.