Основы геометрической оптики. 8 страница

 

принимали дискретные значения. Необходимо было провести эксперимент, который бы подтвердил эти постулаты Бора.

Такой эксперимент был поставлен в 1913 году Франком и Герцем. Принципиальная схема установки Франка и Герца приведена на рис. 3.5. В трубке находятся пары ртути при низком давлении порядка . За счет термоэлектронной эмиссии из катода   вылетают электроны, которые ускоряются полем анода . В цепи возникает электрический ток. В эксперименте исследовалась зависимость анодного тока от напряжения . Такая зависимость приведена на рис. 3.6.

Пока энергия электронов меньше энергии первого уровня возбуждения атомов ртути, соударения электронов с атомами ртути носят упругий характер. При таких соударениях электроны почти не теряют свою энергию, проскакивают через сетку  и все электроны участвуют в создании анодного тока. Когда же энергия электронов сравнивается с энергией первого уровня возбуждения атомов ртути, происходит неупругое соударение. Электроны передают энергию атомам, они возбуждаются, а сами электроны теряют свою энергию. Поэтому резко уменьшается число электронов, проскочивших через сетку   и достигших анода . Анодный ток резко падает. При дальнейшем увеличении анодного напряжения, энергия электронов также растет и превышает первый уровень энергии возбуждения атомов ртути. Соударения опять становятся упругими, все электроны проскакивают сетку, и анодный ток вновь растет. Растет и энергия электронов. Однако, при достижении энергии электронов второго уровня возбуждения атомов ртути, соударения становятся неупругими, и опять происходит падение анодного тока. То же происходит и для третьего уровня возбуждения.

Таким образом, эксперимент Франка и Герца показывает, что уровни энергий атомов ртути имеют дискретный характер, что подтверждает постулаты Бора.

 

 

Лекция 10 (2 часа)

 

Лазеры

( Спонтанное и вынужденное излучения. Оптические квантовые генераторы – лазеры.)

 

Спонтанные и вынужденные переходы, их вероятность

Кроме самопроизвольных, спонтанных переходов с одного энергетического уровня на другой, наблюдаются также вынужденные (или индуцированные) переходы, обусловленные действием на атом падающего излучения.

Самопроизвольные переходы могут совершаться только в одном направлении ‑ с более высокого энергетического уровня на более низкий.

Вынужденные переходы с равной вероятностью могут происходить как в одном, так и в другом направлениях. В случае перехода но более высокий энергетический уровень атом поглощает падающее на него излучение. При вынужденном переходе с одного из возбужденных уровней на более низкий энергетический уровень, происходит излучение атомом дополнительного (к первому, падающему) фотона.

Это излучение называется вынужденным или индуцированным излучением.

Направление вынужденного излучения в точности совпадает с направлением внешнего излучения, вызвавшего индуцированный переход.

Частота вынужденного излучения совпадает с частотой падающего излучения.

Фаза вынужденного излучения совпадает с фазой падающего излучения.

Поляризация вынужденного излучения совпадает с поляризацией падающего излучения.

Вынужденное и внешнее излучения оказываются когерентными.

Эта особенность вынужденного излучения лежит в основе действия усилителей и генераторов света ‑ лазеров. Слово лазер ‑ это аббревиатура английского названия ‑ Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation. В русскоязычной литературе вместо аббревиатуры лазер, используется отечественная аббревиатура ‑ ОКГ (оптический квантовый генератор).

Впервые принцип усиления света за счет вынужденного излучения был предложен советским физиком В.А.Фабрикантом в 1940 г.

Использование вынужденного излучения для усиления электромагнитных волн в микроволновом диапазоне ‑ мазеры ‑ было независимо предложено советскими учеными Басовым и Прохоровым и американским ученым Таунсом в 1953 г. (Нобелевская премия была присуждена в 1964 г).

В 1960 г. Мейман создал аналогичный прибор, работающий в оптическом диапазоне ‑ лазер (ОКГ).

Рассмотрим кратко принцип действия квантовых генераторов.

 Итак, падающий на вещество свет частоты , совпадающей с одной из частот   атомов вещества ( ) будет вызывать два процесса.

1. Переход атомов из состояния   в состояние   с поглощением фотона (см. рис. 3.13).

2. Вынужденный переход атомов из состояния   в состояние   с излучением вторичного фотона (см. рис. 3.14).

Первый процесс приводит к поглощению света веществом и ослаблению интенсивности светового пучка.

Второй процесс приводит к увеличению интенсивности падающего света.

Результирующее изменение интенсивности света будет определяться тем, какой из двух процессов преобладает.

Для этого нужно знать число атомов, находящихся в различных энергетических состояниях. Это число атомов дается уже знакомой формулой Больцмана (см. I.2.46):

Здесь    ‑ константа, которая находится из условия нормировки,    ‑ число атомов, обладающих энергией  при температуре . График этой зависимости приведен на рис. 3.15.

Из этой формулы следует, что с увеличением энергии уровня, его населенность, т.е. число атомов в данном состоянии, уменьшается.

Таким образом, при термодинамическом равновесии системы поглощение света будет преобладать над вынужденным излучением, т.к. возбужденных атомов, обладающих энергией  и испускающих вынужденное излучение меньше невозбужденных, обладающих энергией   и поглощающих свет ( и ).

Т.е. падающая волна при прохождении через вещество ослабляется.

 

Инверсная населенность уровней

Для того, чтобы поучить усиление падающего света, необходимо каким-либо образом обратить населенность уровней. Т.е. сделать так, чтобы большему значению энергии   соответствовало и большее число атомов . При этом говорят, что совокупность атомов имеет инверсную (обратную)  населенность уровней.

Отношение числа атомов на уровнях   и   равно:

В случае инверсной населенности . Отсюда следует, что показатель экспоненты   должен быть больше нуля ‑ . Но . Следовательно, чтобы показатель экспоненты был больше нуля, необходимо чтобы температура была отрицательной ‑ .

Поэтому состояние с инверсной населенностью уровней называют иногда состоянием с отрицательной температурой. Но это выражение носит условный характер, потому что само понятие температуры применимо к равновесным состояниям, а состояние с инверсной населенностью является неравновесным состоянием.

Далее закон ослабления света при прохождении через обычное вещество определяется законом Бугера (1.27):

В случае инверсной населенности, свет, проходя через вещество, будет усиливаться. Формально это соответствует тому, что в законе Бугера коэффициент поглощения   будет отрицательным. Т.е. совокупность атомов с инверсной населенностью уровней можно рассматривать как среду, с отрицательным коэффициентом поглощения.

Итак, для усиления света веществом нам необходимо создать инверсную населенность уровней этого вещества. Посмотрим, как это делается на примере рубинового лазера.

Рубин представляет собой окись алюминия , в которой некоторые атомы алюминия заменены атомами хрома . Этот рубин облучают широким спектром частот электромагнитных волн. При этом ионы хрома   переходят в возбужденное состояние   (см. рис. 3.16). Ионы алюминия в этом деле заметной роли не играют.

Состояние с энергией   представляет собой целую полосу, вследствие взаимодействия ионов с кристаллической решеткой. С уровня   для ионов хрома возможны два пути.

1. Возвращение в исходное состояние с энергией  с испусканием фотона.

2. Переход в метастабильное состояние с энергией   путем теплового взаимодействия с ионами кристаллической решетки алюминия.

Время жизни на уровне   как и обычно, равно времени жизни в возбужденном состоянии ‑ . Спонтанный переход на уровень   обозначен стрелкой , а переход на метастабильный уровень обозначен стрелкой .

Расчеты и эксперимент показывают, что вероятность перехода   много больше вероятности перехода . Кроме того, переход из метастабильного состояния с энергией   в основное состояние запрещен правилами отбора (правила отбора не абсолютно строги, они указывают лишь большую или меньшую вероятность перехода).

Поэтому время жизни на метастабильном уровне составляет , что в сто тысяч раз превышает время жизни на уровне .

Таким образом, при достаточно большом числе атомов хрома может возникнуть инверсная населенность уровня    ‑ число атомов на уровне   превысит число атомов на уровне , т.е. может получиться то, что мы желаем.

Спонтанный переход с уровня   на основной уровень обозначен стрелкой , Возникающий при этом переходе фотон может вызвать вынужденное излучение следующего фотона, который обозначен стрелкой . Этот еще одного и т.д. Т.е. образуется каскад фотонов.

Рассмотрим теперь техническое устройство рубинового лазера.

Он представляет собой стержень, диаметром порядка   и длиной . Торцы стержня строго параллельны друг другу и тщательно отшлифованы. Один торец представляет собой идеальное зеркало, второй ‑ полупрозрачное зеркало, пропускающее около   падающей энергии.

Вокруг рубинового стержня устанавливают несколько витков лампы накачки ‑ ксеноновой лампы, работающей в импульсном режиме.

Итак, в теле стержня образовались вынужденные фотоны. Те фотоны, направление распространения которых составляет малые углы с осью стержня, будут многократно проходить стержень и вызывать вынужденное излучение метастабильных атомов хрома. Вторичные фотоны будут иметь то же направление, что и первичные, т.е. вдоль оси стержня. Фотоны другого направления не разовьют значительный каскад и выйдут из игры. При достаточной интенсивности пучка часть его выходит наружу.

Рубиновые лазеры работают в импульсном режиме с частотой повторения несколько импульсов в минуту. Кроме того, внутри них происходит выделение большого количества тепла, поэтому их приходится интенсивно охлаждать.

Рассмотрим теперь работу газового лазера, в частности гелий-неонового.

Он состоит из кварцевой трубки, внутри которой находится смесь газов гелия и неона. Гелий находится под давлением , а неон под давлением , при этом атомов гелия приблизительно в 10 раз больше, чем атомов неона. Основными излучающими атомами здесь являются атомы неона, а атомы гелия играют вспомогательную роль для создания инверсной населенности атомов неона.

Подкачка энергии в этом лазере осуществляется за счет энергии тлеющего разряда. При этом атомы гелия возбуждаются и переходят в возбужденное состояние   ( см. рис. 3.17) . Это состояние для атомов гелия является метастабильным, т.е. обратный оптический переход запрещен правилами отбора. Поэтому атомы гелия могут перейти в невозбужденное состояние, передавая энергию атомам неона при столкновениях. Вследствие этого атомы неона приходят в возбужденное состояние , которое близко состоянию   для гелия. Атомы неона возбуждаются как за сет энергии тлеющего разряда, так и за счет столкновений с атомами гелия.

Кроме того разгружают уровень , подбирая такие размеры трубки, чтобы атомы неона, находясь на уровне , при соударениях со стенками передавали бы им энергию, переходя на основной уровень.

Вследствие этих процессов происходит инверсная населенность уровня  для неона. С уровня   возможен переход на уровень . 

Основным конструктивным элементом этого лазера является кварцевая газоразрядная трубка, диаметром около . В ней расположены электроды для создания электрического разряда. По торцам трубки расположены плоско-параллельные зеркала, одно из которых, переднее, полупрозрачное. Условия для усиления возникают только у тех фотонов, которые вылетают параллельно оси лазера.

Рабочей частотой лазера является переход . Правилами отбора разрешено около тридцати переходов. Для выделения одной частоты зеркала делают многослойными, настроенными на отражение только одной определенной волны. Широко распространены лазеры, излучающие волны с длиной . Но наиболее интенсивным является переход   с длиной волны , т.е. в инфракрасной области спектра.

Газовые лазеры работают в непрерывном режиме и не нуждаются в интенсивном охлаждении.

Отличительными особенностями лазерного излучения являются.

1. Временная и пространственная когерентность.

2. Строгая монохроматичность .

3. Большая мощность

4. Узость лазерного пучка.

 

 

Лекция 11 (2 часа)

 

Корпускулярно-волновой дуализм.

(Гипотеза Луи де Бройля. Формула де Бройля. Соотношение неопределенностей. Уравнение Шредингера. Волновая функция и ее свойства. Квантование. Интерпретация волновой функции.)

Гипотеза Луи-де-Бройля

Ранее мы получили связь между импульсом фотона   и длиной его волны   (2.12) 

Эта формула устанавливает связь между волновыми свойствами фотона (длина волны ) и его корпускулярными свойствами ‑ импульсом. Эта формула указывает, как мы отмечали, на корпускулярно-волновой дуализм фотона. И мы показывали, как этот дуализм фотона раскрывается.

Но, кроме того, имелись еще противоречия между классическими представлениями и устойчивостью атома. Ведь теория Бора не устранила это противоречие, а только постулировала устойчивость атома, не объясняя ее.

Для разрешения этих противоречий в 1924 г. Луи-де-Бройль выдвинул гипотезу о том, что всем частицам, а не только фотону, присущ корпускулярно-волновой дуализм. И в частности электрону. И что связь между корпускулярными и волновыми свойствами частиц определяется точно так же, как и для фотона:

                                                (3.10)

 

Корпускулярно-волновые свойства частиц

Если электрон движется со скоростью , то его импульс равен . Следовательно, движущемуся электрону соответствует длина волны , равная:

При прохождении электроном разности потенциалов   электрон приобретает скорость , равную:

В этом случае, длина волны, соответствующая электрону, будет равна:

                                (3.11)

Подставляя численные значения констант, получим:

Напряжении в электронно-лучевой трубке меняется в пределах от   до  . Следовательно, длина волны электрона лежит в пределах от   до , т.е. в диапазоне рентгеновского излучения. Следовательно, появляется реальная возможность проверки гипотезы Луи-де-Бройля, проверив, дифрагируют ли электронные пучки на кристаллах.

В 1927 г. Девисон и Джермер исследовали явление рассеяния электронов на кристалле никеля. Никель был ранее изучен с помощью рентгеновских лучей, и поэтому постоянная его решетки была хорошо известна.

Если электрон обладает волновыми свойствами, то при рассеянии на кристалле должны быть направления максимумов и направления минимумов. И это действительно подтвердилось в эксперименте. Причем экспериментально измеренная длина волны электрона в точности соответствовала теоретической.

Советский ученый Тартаковский исследовал явление прохождения электронного пучка через тонкие металлические фольги. При этом получалась дифракционная картина в точности такая же, как и при прохождении рентгеновских лучей.

Этими, и подобными им экспериментами было доказано, что электрон действительно обладает волновыми свойствами.

Причем было показано, что волновые свойства присущи каждому электрону в отдельности, а не большой совокупности электронов в целом.

Таким образом, накапливались данные о корпускулярно-волновом дуализме электрона.

Эксперименты, указывающие на волновую природу электрона.

1. Дифракция электронов, следовательно ‑ электрон не шарик, а сложное образование, структура, обладающая волновыми свойствами.

2. В зависимости от внешних условий структура электрона меняется, т.е. структура электрона зависит от его взаимодействия с окружающей средой.

3. Область локализации электрона в атоме ‑ электронная оболочка. В то же время при прохождении через кристалл, электрон взаимодействует одновременно со множеством атомов, о чем свидетельствует острота дифракционных максимумов. Т.е. здесь область локализации электрона совершенно другая.

Корпускулярная природа электрона.

Электрон действует всегда как единое целое, не дробясь на части. Однако его неделимость не обусловлена его точечностью, а имеет гораздо более сложную природу, разгадка которой дело будущего.

Волновые свойства электронов позволяют их использовать в так называемом электронно-структурном анализе, который дает лучшие результаты, в отличие от рентгеноструктурного анализа.

Это происходит потому, что рентгеновские фотоны взаимодействуют только с электронной оболочкой атома, а электроны взаимодействуют в основном с ядром атома.

Как видно из формулы (3.11), длина волны частицы, при прочих равных условиях, обратно пропорциональна корню квадратному из массы частицы.

Таким образом, если для электрона энергии   длина волны получается равной , то для протона, той же энергии, длина волны будет равна:

Отсюда получаем, что длина волны протона энергией   равна

А для молекулы кислорода ‑ . 

Причем здесь мы предположили, что гипотеза Луи-де-Бройля распространяется и на сложные, составные частицы. Это предположение было подтверждено экспериментально, путем получения дифракционной картины от атомов гелия.

Если мы возьмем пылинку, массой , движущейся со скоростью , то для де-Бройлевской длины волны получим значение:

Т.е. ничтожно малая длина волны.

 

Соотношение неопределенностей

Проанализируем теперь вопрос о точности определения координат и импульса различных тел.

Согласно гипотезе Луи-де-Бройля, все тела обладают волновыми свойствами, т.е. характеризуются волной, или, как принято говорить, описываются волновой функцией.

В общем случае волновая функция зависит от всех трех пространственных координат   и времени . Волновую функцию обозначают символом . Итак