Основы геометрической оптики. 10 страница

Следовательно, -функции  будет иметь вид:

Выражение для амплитуды -функции найдем из условия нормировки ‑ . Для нашей задачи условие нормировки будет иметь вид:

Возьмем интеграл этого уравнения:

Следовательно, условие нормировки примет вид:

Окончательно -функцию представим в виде:

Графики самой -функции и    ‑ характеризующий вероятность нахождения частицы в том или ином месте потенциальной ямы, представлены на рис. 3.20.

 

Получим теперь выражение для энергии частицы в потенциальной яме.

Из выражения для квадрата частоты следует, что . 

 

Лекция 13 (2 часа)

 

 Многоэлектронные атомы.    

(Спектры щелочных металлов. Нормальный эффект Зеемана. Мультиплетность спектров и спин электрона. Момент импульса в квантовой механике. Результирующий момент многоэлектрон­ного атома. Распределение электронов в атоме по энергетическим уровням. Периодическая система элемент Менделеева. Ширина спектральных линий. Молекулярные спектры.)

Достоинства и недостатки теории Бора.

Поправки Зоммерфельда

Совпадение выводов теории Бора с опытными фактами для водорода не оставляло желать лучшего. Это был крупный шаг в теории атома. Он показал, что к атомам нельзя применять законы классической физики, что атом живет по законам микрочастиц.

Однако, после первых успехов теории Бора пошли сплошные неудачи. Теория Бора не смогла объяснить характер спектров следующего за водородом атома ‑ гелия. Хотя он является самым простым после водорода атомом.

Поэтому пришлось вводить новые постулаты для объяснения наблюдаемых спектров атомов. В частности, такие поправки сделал Зоммерфельд.

Как известно, материальное тело обладает тремя степенями свободы (если рассматривать его как материальную точку). Поэтому и для характеристики состояния электрона в атоме нужно не одно какое-то квантовое число, а по меньшей мере три числа. Такие числа были введены и они соответствуют следующим представлениям.

‑ главное квантовое число, характеризует радиус орбиты электрона

      в атоме.

‑ побочное, или азимутальное квантовое число, характеризует

      эллиптичность орбиты, степень ее вытянутости.

‑ магнитное квантовое число, характеризует ориентацию плоскости

      орбиты электрона в пространстве.

Таким образом, для данного главного квантового числа   и полной энергии , существует целая группа орбит, отвечающих разным значениям квантовых чисел   и .

Эти квантовые числа определенным образом связаны между собой. В частности, побочное квантовое число может принимать значения от нуля до :

Квантовое число   может принимать значения от   до :

Следовательно, квантовое число   имеет всего   различных значений, а   имеет всего   значений.

Будем символом   обозначать состояние орбиты, соответствующей квантовым числам , т.е. ‑ , а символом   как обычно энергию электрона в атоме.

Таким образом, мы видим, что возможные орбиты электрона в атоме значительно усложняются.

Состояния с одинаковым значением энергии, т.е. с одним и тем же значением главного квантового числа   называются вырожденными. А число таких состояний называется кратностью вырождения.

Подсчитаем, чему равна кратность вырождения уровней водорода. При данном квантовом числе , возможны   состояний, отличающихся различными значениями квантового числа  . Таким образом, для определения кратности вырождения, необходимо произвести суммирование по всем возможным значениям квантового числа . Т.е кратность вырожденности будет равна . Суммирования ведется в пределах от   до  потому, потому что именно в таких пределах меняется квантовое число . Легко показать (даже путем непосредственной подстановки числовых значений), что эта сумма равна:

Таблица 1
En	Ψn l m	n	l	m
E1	Ψ1 0 0	1	0	0
E2	Ψ2 0 0	2	0	0
	Ψ2 1 -1	2	1	-1
	Ψ2 1 0	2	1	0
	Ψ2 1 1	2	1	1
E3	Ψ3 0 1	3	0	0
	Ψ3 1 -1	3	1	-1
	Ψ3 1 0	3	1	0
	Ψ3 1 1	3	1	1
	Ψ3 2 -2	3	2	-2
	Ψ3 2 -1	3	2	-1
	Ψ3 2 0	3	2	0
	Ψ3 2 1	3	2	1
	Ψ3 2 2	3	2	2

Таким образом, таблица 1 со значениями квантовых чисел будет иметь вид.

В квантовой механике показывается, что квантовое число   определяет величину момента импульса электрона в атоме, а квантовое число    ‑ проекцию этого импульса на какое-то направление (например, направление вектора электрического или магнитного поля).

‑ момент импульса ‑

‑ проекция импульса ‑

, поэтому .

Кроме цифровых значений, для   часто применяют буквенные обозначения. При этом установлено следующее соответствие:

При этом, так как , возможна следующая таблица состояний:

Следовательно, с поправками Зоммерфельда теория атома Бора становится гораздо сложнее.

 

Спин электрона и спиновое квантовое число

При изучении спектров щелочных металлов приборами большой разрешающей способности выявлено, что линии в спектре являются дублетами, т.е. двойными. Т.е. уровни энергии расщеплены на два подуровня.

Но если это так, то мы должны считать, что каждой линии соответствует своя энергия.

Для объяснения этого эффекта пришлось предположить, что электрон имеет собственный механический момент движения, не связанный с его орбитальным движением. Этот механический момент движения, момент импульса, называется спином, от английского слова    ‑ веретено. Т.е. электрон стали употреблять волчку.

Тем самым было показано, что элементарную частицу электрон нельзя считать материальной точкой. Его следует рассматривать как частицу, имеющую размеры, т.к. она обладает вращательной степенью свободы.

Однако от представлений об электроне виде вращающегося шарика вскоре пришлось отказаться. Дело в том, что вращающийся заряженный шарик должен обладать и магнитным моментом. Магнитный момент электрона вскоре был действительно обнаружен. Но отношение магнитного момента электрона к его механическому моменту не соответствовало теоретическому. Поэтому принято считать, что спин электрона ‑ это его свойство, подобно тому, как масса, заряд.

Собственный механический момент электрона (момент импульса) равен:

где    ‑ спиновое квантовое число. Из экспериментальных наблюдений было определено, что . Отсюда . Проекция   на выбранное направление будет равна: , где . 

Таким образом, общее число различных состояний, т.е. кратность вырожденности, будет равна ‑ .

 

Периодическая система элементов Менделеева

Итак, четыре квантовых числа   полностью характеризуют состояние одного электрона в поле атомного ядра.

В многоэлектронных атомах нужно учитывать еще и взаимодействие электронов между собой, что чрезвычайно усложняет задачу.

Здесь мы рассмотрим многоэлектронный атом лишь с качественной стороны. При этом учтем принцип Паули, который в применении к электрону в атоме, гласит.

Никакие два электрона не могут обладать одинаковыми значениями всех четырех квантовых чисел .

У многоэлектронного атома заряд ядра , число электронов . Орбиты электронов разобьем по слоям с одинаковым значением главного квантового числа

Этим значениям   соответствуют разные значения   и . Энергия электрона, в отсутствии внешних полей, определяется в основном квантовыми числами   и . Поэтому, как уже отмечалось, состояние атома обозначают двумя буквами. В таблице 2 приведены значения квантовых чисел, число электронов на той или иной оболочке, общее число электронов, и кратность вырожденности.

 

Таблица 2
l n	0	1	2	3	4	Кратность вырожденности
	s	p	d	f	g	2 n2
K 1	2					2
L 2	2	6				8
M 3	2	6	10			18
N 4	2	6	10	14		32
O 5	2	6	10	14	18	50
m	0	-1, 0	-2,-1,0,1,2	-3,-2,-1,0,1,2,3,	-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4

 

Заполнение оболочек электронами представлено на следующей схеме.

 

 

 

Лекция 14 (2 часа)

 

 Многоэлектронные атомы.    

(Состав и характеристика атомного ядра. Энергия связи. Удельная энергия связи. Ядерные силы. Естественное и искусственное радиоактивное излучение. Законы радиоактивного распада. Период полураспада. Правила смещения. Закономерности a и  распада, излучение и его свойства. Методы наблюдения и регистрации радиоактивных излучений и частиц. Ядерные реакции и их основные типы. Реакция деления ядра. Цепная реакция деления. Реакция синтеза. Энергия солнца и звезд. Искусственная радиоактивность.)    

Радиоактивность

Явление радиоактивности в 1896 году обнаружил А.Беккерель. Суть ее заключалась в том, что соли урана люминесцировали без предварительного облучения светом. Причем люминесценция урана обладала удивительным свойством: лучи, излучаемые ураном, были невидимы для глаз, но действуют на фотопластинку; лучи проникают даже сквозь плотную бумагу.

Дальнейшее изучение этого явления связано с именами Пьера и Мари Склодовская-Кюри. Они установили, что кроме самого урана излучают еще радий и полоний. Резерфорд установил, что излучение состоит из трех компонент.

1). -лучи.

-лучи состоят из корпускул, интенсивность их излучения   частиц в секунду. Заряд -частиц положителен и равен двум элементарным зарядам электрона . Масса -частиц оказалась равной массе иона , т.е. равна массе ядра атома гелия. Тождественность -частиц и гелия доказана прямыми опытами.

-частицы обладают большой энергией. Двигаясь в веществе, они ионизируют атомы и теряют свою энергию. Поэтому, пройдя определенный путь    ‑ называемый пробегом ‑ -частицы останавливаются. Выражение для энергии -частиц можно представить как

где    ‑ энергия ионизации одного атома,    ‑ число ионизированных атомов. Экспериментальные измерения дают для . Такая же цифра получается и при калориметрических измерениях. Так, Кюри установил, что   радия выделяет в час   теплоты. Отсюда

Кроме того, было показано, что энергия -частиц представляет собой своеобразный спектр, но об этом мы подробнее остановимся дальше.

2). - лучи. 

Измерения показали, что - лучи являются электронами больших энергий:

Спектр -частиц не линейчаты, а сплошной:

Средняя энергия - частиц равна примерно одной четверти от максимальной:

Величина максимальной энергии -частиц является характерной константой для данного вещества. Т.к. скорость -частиц очень велика, то все расчеты с -частицами необходимо производить по точным формулам теории относительности.

Вследствие малой массы -частицы при прохождении через вещество могут сильно рассеиваться. И траектория отдельной частицы имеет очень извилистый характер.

Кроме того, опять же вследствие малой массы, -частицы производят меньше ионизации на своем пути и глубже проникают в вещество.

3). -лучи.

Огромная проникающая способность, отсутствие отклонения в электрическом и магнитном полях указывают на их аналогию с рентгеновскими лучами. Удалось наблюдать дифракцию -лучей и определить их длину волны. Оказалось, что длина волны -лучей составляет:

Т.е. в десятки раз меньше, чем у рентгеновских лучей. Энергия -лучей составляет величину, порядка:

 

Методы регистрации радиоактивного излучения

Для регистрации и наблюдения различных радиоактивных частиц служат различные приборы и установки.

1. Сцинтилляционные счетчики.

Сцинтилляционные счетчики представляют собой систему, состоящую из фотоэлектронного умножителя (ФЭУ), электрического усилителя импульсов и регистрирующего (пересчетного) механизма ‑ электромеханического счетчика (см. рис. 3.21). Фотоэлектронный умножитель представляет собой прибор, преобразующий слабые световые сигналы в электрические. Передний торец ФЭУ представляет собой прозрачную поверхность, на внутренней стороне которой нанесен слой сцинтиллятора дающего вспышку света при попадании ионизирующей частицы. Далее расположен слой вещества, обладающего свойством фотоэффекта. Под действием вспышки света с поверхности этого вещества вырывается электрон. Затем расположена система вторичных электродов ‑ динодов. Напряжение каждого динода на 50 – 100 В выше, чем у предыдущего. Кроме того, каждый динод обладает свойством вторичной электронной эмиссии ‑ под действием падающего электрона вышибается еще несколько электронов. Таким образом, в районе последнего динода (их всего 15 -20) образуется достаточно большое число электронов, т.е. значительный электрический ток. Чувствительность фотоумножителя такова, что он может регистрировать отдельный фотоэлектрон.

Электрический импульс, возникающий в ФЭУ при попадании отдельной ионизирующей частицы, усиливается далее усилителем, а затем регистрируется с помощью электромеханического счетчика.

Таким образом, с помощью этого устройства мы можем считать число импульсов (частиц) за какой угодно интервал времени.

2. Счетчик Гейгера-Мюллера.

Счетчик Гейгера представляет собой тонкостенную металлическую трубку, по оси которой натянута проводящая нить (см. рис. 3.22). Между стенкой трубки и центральной нитью приложено напряжение порядка тысячи вольт. В трубке находится газ под пониженным давлением (100 ‑ 200 мм рт ст). Ионизирующая частица проникает через поверхность трубки и вызывает ионизацию газа. Электроны под действием поля движутся к центральной нити. Поскольку нить малого диаметра, напряженность электрического поля у ее поверхности очень велика, поэтому у ее поверхности возникает коронный разряд, быстро распространяющийся по всей длине нити. В результате возникает импульс тока, который регистрируется соответствующим устройством.

Для счета -квантов трубку делают стеклянной, а внутреннюю поверхность покрывают тонким слоем металла.

Для счета -частиц трубку делают толстостенной, а торец покрывают тончайшей фольгой.

3. Камера Вильсона.

Камера Вильсона представляет собой цилиндр с поршнем (см. рис. 3.23). При резком опускании поршня происходит адиабатическое расширение и охлаждение газа. Пары жидкости переходят в пересыщенное состояние и легко конденсируются на ионах. Таким образом, если в этот момент через камеру пролетает частица, на ее пути образуются ионы, на которых конденсируются пары жидкости. По характеру следа можно определить тип частицы.

Следы хорошо видны. Они легко фотографируются и снимаются на кинопленку.

Можно усовершенствовать камеру Вильсона, комбинируя ее со счетчиком Гейгера или помещая в магнитное поле.

4. Толстослойные фотоэмульсии. Пробег частицы в фотоэмульсии не превышает нескольких десятых миллиметра, вследствие большой плотности фотоэмульсии. Поэтому, если фотопластинку сделать толстой, то в ней уложится весь трек частицы.

Для частиц очень больших энергий применяют стопки фотопластинок.

 

Правила  радиоактивного смещения

Мы видели, что энергия радиоактивных излучений имеет величину порядка . В то время как энергия связи электрона с ядром, при этом максимальная энергия, не превышает .