Основы геометрической оптики. 2 страница

QP

На поверх­ности экрана (в области PQ) про­исходит наложение когерентных пучков и наблюдается интерференция.

2.2.4. Интерференция света в тонких пленках. Пусть на плоскопараллельную про­зрачную пленку с показателем преломле­ния n и толщиной h под углом a падает плоская монохроматическая волна (для простоты рас­смотрим только один луч из падающего пучка – 1). На поверхности пленки в точке A луч 1 де­лится на два: частично отразится от верх­ней поверхности пленки, а частично пре­ломится (рис. 2–4). Пленка находится в воздухе (абсолютный показа­тель преломления n₀=1).

Преломленный луч в точ­ке B частично преломится, а частично отразится и пойдет к точке С. Здесь он опять частично отразится и преломится, выходя в воздух под углом a (луч 2^*). Если оптическая разность хода этих лучей будет мала по сравнению с длиной когерентности па­дающей волны, то эти лучи будут когерент­ными. Если на их пути поставить собирающую линзу то они сойдутся в одной из точек фокальной плоскости линзы и дадут интерференционную кар­тину, которая будет определяться оптиче­ской разностью хода между интерферирующи­ми лучами. Интерференци­онные полосы, возникающие в результате наложения лучей, падающих на плоскопараллельную пластинку под одинаковыми углами, называются полосами равного н аклона.

Интерференция от тонких пленок может наблю­даться не только в отраженном, но и в проходящем свете. Рассмотрим интерференцию в отраженном свете.

Оптическая разность хода, возникаю­щая между лу­чами 1^* и 2^* равна

,

где член ±l₀/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела. Ес­ли n> n₀, то потеря полуволны произойдет в точке Aи вышеупомянутый член будет иметь знак минус, если же n<n₀, то потеря полуволны произойдет в точке Си l₀/2будет иметь знак плюс.

Из рис. 2-5 следует

.

Учитывая в точке С закон преломления , получим

.

С учетом потери полуволны для оптиче­ской разности хода получим

.                     (2-6)

Учитывая, что n> n₀, получаем .

Интерференционный максимум наблюдается, если (см. (2-2))

.  (2-7)

Интерференционный минимум наблюдается, если (см. (2-3))

.  (2-8)

2.2.5. Интерференция света в оптическом клине. Рассмотрим пленку переменной толщины, например клинообразную. В отраженном свете поверхность такой пленки уже не будет равномерно освещен­ной, так как разность хода лучей, интерферирующих в различных (по толщине) местах пленки, будет неодинаковой. Разность хода сохраняется неизменной толь­ко вдоль линий, параллельных ребру клина, и убывает в направлении от осно­вания к ребру (рис. 2–6,а).

В результате интерференции наблюдаются светлые и темные полосы параллель­ные ребру клина (рис. 2–6,б). Чем больше угол клина a, тем быстрее изменяется разность хода лучей вдоль клина и тем гуще будут расположены интерференционные полосы. При ис­пользовании белого света интерференционные полосы расширяются, приобретая радужную окраску. Каж­дая из полос возникает за счет отражения от мест, имеющих одинаковую толщину, поэтому они называются полоса­ми равной толщины.

В общем слу­чае толщина пленки и её показатель преломления может изменяться произволь­но и при освещении белым светом возникает весьма причудли­вая по форме и расцветке интерференционная картина. Такую карти­ну дают мыльные пленки, нефтяные пятна на поверхности воды, крылья мелких насекомых, жировые налеты на стекле и другие тонкие пленки толщиной по­рядка 10^–6 м. В более толстых пленках цветные интерфе­ренционные полосы ока­зываются настолько сближенными, что частично перекрывают друг друга и интерференционная картина будет неразли­чимой.

2.2.6. Кольца Ньютона. Кольца Ньютона, явля­ются примером полос равной толщины, наблюдаемые при контакте плоскопа­раллельной пластинки и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзы с большим радиу­сом кривизны (рис.2–7,а).

Пучок света падает нормально на линзу и час­тично отражается от верхней (точка Е) и нижней (точка F) поверхно­стей воздушного зазора меж­ду линзой и пластинкой. При наложении от­ра­женных лучей возникают полосы равной толщи­ны, при нормальном падении света имеющие вид окружностей (рис. 2–6,б) или эллипсов при на­клонном падении света.

 При освещении белом светом наблюдаем интерференционную кар­тину радужной окраски, а при ос­вещении монохроматическим светом наблюдаются светлые и темные полосы.

Рассмотрим интерференцию лучей в отраженном свете. Оптическая разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней поверхностей воздушного зазора на рас­стоянии r=D E  от точки O, равна

,

где показатель преломления воздуха принят равным единице, а член l₀/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от оптически более плотной среды (точка F). Из подобия прямоугольных треугольников EOD и EDM следует, что

где   и ,

так как . Таким об­разом,

и

    Из этого соотношения и условий (2.2 и 2.3) следует, что радиусы m- х светлого (r_св)  и темного (r_т)колец Ньютона в отраженном свете равны:

        (2-9)

Очевидно, что в проходящем свете

2.3. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ СВЕТА

2.3.1. Как видно из рассмотренных в предыдущем параграфе приме­ров, интерференционные явления обусловлены волновой приро­дой света и их количественные закономерности зависят от длины волны l. Измеряя расстояния между полосами в опыте с биприз­мой Френеля или радиусы колец Ньютона, можно определить длины волн световых лучей. Такова первая группа применений интерференционных явлений, имеющая принципиальное значе­ние, — доказательство волновой природы света и измерение длин волн.

2.3.2. Правильная форма колец Ньютона (рис. 2–6,б) искажается при всяких, даже незначительных, дефектах в обработке выпуклой поверхности линзы и верхней поверхности пластины. Поэтому наблюдение формы колец Ньютона позволяет осуществлять быстрый и весьма точный контроль качества шлифовки плоских пластин и линз, а также бли­зость поверхностей линз к сферической форме.

2.3.3. Возможность ослабления отраженного света в тонких пленках вследствие интер­ференции широко используется в опти­ческих приборах: фотоаппаратах, биноклях, перископах и др. Дело в том, что часть световой энергии отражается от поверхностей линз; это заметно снижает яркость и контрастность изображения рассматриваемых (или фотографируемых) объектов и создает блики. Для устранения этого на передние поверхности имеющихся в них линз и призм наносят тонкие прозрачные пленки, абсолютный показатель преломления которых n_п меньше абсолютного показателя преломления n для ма­териала линзы или призмы. Толщина пленки подбирается таким об­разом, чтобы осуществлялся интерференционный минимум отражения для света с длиной волны l » 5,5×10^-7м (зеленый свет), которая соответствует наибольшей чувствительности человеческого глаза. Такая оптика получила название просветленной оптики. В отражен­ном свете просветленные линзы и призмы кажутся окрашенными в фиолетовый цвет, так как они заметно отражают только красный и сине-фиолетовый свет. Обычно на поверхность линз наносят пленку из кремнезема или из фторис­тых солей. Кроме того, просветляющую пленку можно создать непосредствен­но на поверхности линзы путем обработки этой поверхности растворами кис­лот (метод И. В. Гребенщикова).

2.3.4. Явление интерференции также приме­няется в очень точных измерительных при­борах — интерферометрах. Все интерферометры основаны на одинаковом принципе и различаются лишь конструкционно.

На рис. 2-8 приведена схема интерферометра Майкельсона. Монохроматический свет от источника S падает под углом 45° на плоскопараллельную пластинку P₁. Сторо­на пластинки, удаленная от S, посеребренная и полупрозрачная, разделяет луч на две части: луч 1 (отражается от посе­ребренного слоя) и луч 2 (проходит через него). Луч 1 отражается от зеркала M₁ и возвращаясь вновь проходит че­рез пластинку P₁ (луч 1'). Луч 2 идет к зеркалу M₂, отражается от него, воз­вращается обратно и отражается от пластинки P₁ (луч 2'). Так как первый из лучей проходит пластинку P₁ дважды, то для компенсации возникающей разности хода на пути второго луча ставится пластинка P₂ (точно такая же, как и P₁, только не покрытая слоем серебра).

Так как лучи 1' и 2' когерентны, то наблюдается интерференция, вид которой зависит от оптической разности хода луча 1 от точки О до зерка­ла M₁ и луча 2 от точки О до зеркала M₂. При перемещении одного из зеркал на расстояние l/4 разность хода обоих лучей увеличится на l/2 и освещенность зрительного поля изменится. Даже по незначительному смещению картины интерференции можно судить о малом перемещении одного из зеркал и использовать интерферометр Майкельсона для точного (порядка 10^{-7 м) из­мерения длин (измерения длины тел, длины световой волны, изменения длины тела при изменении температуры (интер­ференционный дилатометр)).}

Этот интерферометр сыграл фундаментальную роль в разви­тии науки и техники. С его помощью впервые была измерена длина световой волны, проведено изучение тонкой структуры спектральных линий, выполнено первое прямое сравнение эта­лонного метра с определенной длиной волны света. С помощью этого интерферометра был осуществлен знаменитый опыт Майкельсона-Морли, доказавший независимость скорости света от движения Земли.

2.3.5. Рассмотрим теперь прибор, существенная часть которого состо­ит из двух идентичных плоскопараллельных пластинок толщины h к с показателем преломления n — интерферометр Жамена (рис. 2.9).

При падении пучка света на первую пластинку (на рисунке показан только один луч) часть лучей отра­зится от передней грани пластинки, а часть, преломившись, отразится от задней грани; таким образом, из пластинки выйдут два выходят два коге­рентных параллельных луча.

Пройдя сквозь совершенно одинаковые закрытые стеклянные кюветы К₁ и К₂ (длина кювет l), каждый из лучей, попадая на вторую пластинку, опять раздвоится, и из второй пластин­ки выйдут уже четыре пучка. Лучи 1 и 4 не попадают в оправу объектива, а лучи 2 и 3 собираются линзой и интерферируют.

Полосы интерференции рассматриваются с помощью окуляра, который на рисунке не показан. Если одну из кювет заполнить газом, имеющим известный абсолютный показа­тель преломления n₁, а вторую — газом, показатель преломления n₂ которого измеряется, то между интерферирующими лучами возник­нет оптическая разность хода, равная . Соответственно произойдет смещение интерференционной картины на  полос, причем

Например, при l=5 см и l=0,5 мкм смещению полос на 0,1 их ширины, которое еще можно зарегистрировать, соответствует очень малое изменение разности (n₂— n₁):

Таким образом, интерферометр Жамена можно использовать для определения ничтожного изменения показателя преломления, напри­мер при изменении температуры газа или прибавлении посторонних примесей. В соответствии с этим его нередко называют интерферен­ционным рефрактометром. Как показано выше, он крайне чувствите­лен к незначительным изменениям показателя преломления. Однако определение абсолютного значения самого показателя преломления при помощи этого прибора довольно затруднительно. Обычно его применяют таким образом, что сравнивают интересующий нас газ с каким-либо хорошо изученным газом, например, воздухом.

Лекция 4 (2 часа)

 

Дифракция света.  

(Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля. Дифракция Френеля. Метод зон Френеля. Дифракция света на круглом отверстии. Границы применимости геометрической оптики. Зонная и фазовая пластинки Френеля. Дифракция Фраунгофера от щели. Дифракционная решетка и ее применение. Пространственная дифракционная решетка. Формула Вульфа-Брэггов. Угловая и линейная дисперсия. Разрешающая способность. Критерий Рэлея. Голография)

 Принцип Гюйгенса — Френеля

Дифракцией называется огибание волна­ми препятствий, встречающихся на их пу­ти, или в более широком смысле — любое отклонение распространения волн вблизи любых неоднородностей (препятствий) от законов геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через не­большие отверстия в экранах и т. д.

Различают два вида дифракции:

1. Дифракция в непараллельных лучах (дифракция Френеля), когда на препятствие падает сферическая (или плоская) волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся за ним на конечном расстоянии от препятствия.

2. Дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера), когда на препятствие падает плоская волна, а дифракционное изображение источника света наблюдается на экране, расположенном в фокальной плоскости собирающей линзы, установленной на пути прошедшего за препятствие света.

Явление дифракции объясняется с по­мощью принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка, до кото­рой доходит волна, служит центром вто­ричных волн, а огибающая этих волн дает положение волнового фронта в следующий момент времени.

Пусть плоская волна нормально пада­ет на отверстие в непрозрачном экране (рис. 3-1). Согласно Гюйгенсу, каждая точка во­лнового фронта служит источником вто­ричных волн (в однородной изотропной среде они сферические). Построив огиба­ющую вторичных волн видим, что волна огибает края отверстия, т. е. фронт волны заходит в область геометрической тени.

Принцип Гюйгенса решает за­дачу о направлении распространения во­лнового фронта, но не затрагивает вопро­са об амплитуде волн, распространяющихся по разным направлениям. Френель вло­жил в принцип Гюйгенса физический смысл, дополнив его идеей интерференции вторичных волн.

Согласно принципу Гюйгенса - Фре­неля, световая волна, возбуждаемая ка­ким-либо источником S, может быть пред­ставлена как результат суперпозиции ко­герентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками. Такими источ­никами могут служить бесконечно малые элементы любой замкнутой поверхности, охватывающей источник S. В ка­честве этой поверхности выбирают одну из волновых поверхностей, поэтому все фик­тивные источники действуют синфазно. Таким образом, волны, распространяющи­еся от источника, являются результатом интерференции всех когерентных вторич­ных волн.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн позволяет в каждом конкретном случае найти амплитуду (интенсивность) резуль­тирующей волны в любой точке простран­ства, т. е. определить закономерности распространения света.

3.2. Метод зон Френеля

Принцип Гюйгенса является чисто гео­метрическим способом построения волно­вых поверхностей. Он никак не связан с физической природой волн и применим как к упругим, так и к электромагнитным волнам в равной мере. Найдем в произвольной точке М ам­плитуду световой волны, распространяю­щейся в однородной среде из точечного источника S (рис. 3-2).

Согласно принци­пу Гюйгенса — Френеля, заменим дейст­вие источника S действием воображаемых источников, расположенных на вспомога­тельной поверхности Ф, являющейся по­верхностью фронта волны, идущей из источника S. Фре­нель разбил волновую поверхность Ф на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отлича­лись на l/2, т. е. Р₁М- Р₀М=Р₂М- Р₁М=Р₃М- Р₂М=...= l/2. Подобное разбиение фронта волны на зоны можно выполнить, проведя с центром в точке М сферы радиусами b+l/2, b+2l/2, b+3l/2, … .

Так как колебания от сосед­них зон проходят до точки М расстояния, отличающиеся на l/2, то в точку М они приходят в противоположной фазе и при наложении будут взаимно ослаблять друг друга. Поэтому амплитуда результирующего светового колебания в точке М

A=А₁- А₂+ А₃- А₄+ ... ,                              (3.1)

где А₁, А₂, ... — амплитуды колебаний, возбуждаемых 1-й, 2-й, ... зонами.

Для оценки амплитуд колебаний най­дем площади зон Френеля. Пусть внешняя гра­ница m-й зоны выделяет на волновой по­верхности сферический сегмент высоты h_m (рис. 3-3). Если площадь этого сег­мента s_m, то площадь m-й зоны Френеля равна Ds_m = s_m - s_m-1, где s_m-1 — площадь сферического сегмен­та, выделяемого внешней границей (m-1)-й зоны. Из рисунка следует, что

       (3-2)

Учитывая, что l<<а и l<<b, получим

                                 (3-3)

Площадь сферического сегмента и площадь m-й зоны Френеля соответственно равны

(3-4)

Выражение (3-4) не зависит от номера зоны m; сле­довательно, при не слишком больших m площади зон Френеля одинаковы.

Согласно предположению Френеля, действие отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол j_m (рис. 3-3) между нормалью n к поверхности зоны и направлением на М, т. е. действие зон постепенно убывает от центральной (око­ло Р₀) к периферическим (до нуля). Кроме того, интенсивность излучения в направле­нии точки М уменьшается с ростом номера зоны m и вследствие увеличения расстояния от зоны до точки М. Учитывая оба этих фак­тора, можем записать

А₁> А₂> А₃> А₄ … .

Общее число зон Френеля, умещаю­щихся на полусфере, очень велико; напри­мер, при а=b=10 см и l = 0,5 мкм оно равно

Так как число зон Френеля велико, то в качестве допустимого приближения можно счи­тать, что амплитуда колебания А_m от неко­торой m-й зоны Френеля равна среднему арифметическому от амплитуд примыкаю­щих к ней зон, т. е.

.                          (3-5)

Тогда выражение (3-1) можно записать в виде

.     (3-6)

так как выражения, стоящие в скобках, согласно (3-5), равны нулю, а оставша­яся часть от амплитуды последней зоны ±А_m/2 ничтожно мала.

Таким образом, амплитуда, создавае­мая в произвольной точке М сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной централь­ной зоной. Следовательно, действие всей волновой поверхности на точку М сводит­ся к действию ее малого участка, меньше­го центральной зоны.

Если в выражении (3-2) положим, что высота сегмента h_m<<а (при не слиш­ком больших m), тогда  Под­ставив сюда значение (3-3), найдем ра­диус внешней границы m-й зоны Френеля:

                                (3-7)

При a=b=10 см и l=0,5 мкм радиус центральной зоны               r₁= 0,158 мм. Следовательно, распростра­нение света к точке М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т. е. прямолинейно. Таким образом, принцип Гюйгенса — Френеля позволяет объяснить прямолинейное распростране­ние света.

Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля подтверждена экспериментально с использованием зонных пластинок — стеклянных пластинок, состоящих из прозрачных и не­прозрачных концентрических колец, по­строенных по принципу расположения зон Френеля, т. е. с радиусами r_m зон Френеля, определяемыми выражением (3-7) для заданных значений a, b и l (m = 0, 2, 4, ... для прозрачных и m = 1, 3, 5, ... для непрозрачных колец). Если поместить зон­ную пластинку на расстоянии а от то­чечного источника и на расстоянии b от точки наблюдения на линии, соединяющей эти две точки, то для света длиной волны l она перекроет четные зоны и оставит сво­бодными нечетные начиная с центральной. Результирующая ам­плитуда A=А₁+А₃+А₅+…  должна быть больше, чем при полностью открытом фронте. На опыте зонная пластинка во много раз увеличивает ин­тенсивность света в точке М, действуя подобно собирающей линзе.

3.3. Дифракция Френеля на круглом отверстии

Сферическая волна, идущая из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране (Э) в точке В, лежащей на линии, соединяющей источник S с центром отверстия. Экран параллелен плоскости отвер­стия и находится от него на расстоянии b (рис. 3-4). Разобьем открытую часть волновой по­верхности Ф на зоны Френеля. Вид диф­ракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. (3-1) и (3-6)),

,                             (3-8)

где знак плюс соответствует нечетным m, а знак минус — четным.

Если отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны, если четное, то амплитуда бу­дет равна нулю. Если в отверстие уклады­вается одна зона Френеля, то в точке В амплитуда A=А₁, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием. Интенсивность света больше соответственно в четыре ра­за. Если в отверстии укладываются две зоны Френеля, то из-за интерференции их действия в точке В практически уничтожат друг друга. Таким образом, дифрак­ционная картина от круглого отверстия вблизи точки S будет иметь вид чередую­щихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если m четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное — то светлое кольцо), а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины. Если отверстие освещается бе­лым светом, то кольца будут окрашены.

Число зон Френеля, укладывающихся в отверстии, зависит от его диаметра. Если он большой, то А_m<<А₁ и результирующая амплитуда А=А₁/2, т.е. такая же, как и при полностью открытом волновом фрон­те. При этом дифракционной картины нет — свет распространяется, как и в отсутствие круглого отверстия, прямо­линейно.

3.4. Дифракция Френеля на диске

Сферическая волна, распространяющаяся от точечного источника S, встречает на своем пути диск. Дифракционную картину наблюдаем на экране (Э) в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром диска. Закрытый диском участок фронта волны надо исклю­чить из рассмотрения и зоны Френеля строить начиная с краев диска (рис. 3-5). Пусть диск закрывает m зон Френеля. Амплитуда результирующего колебания в точке В равна

 или

А=А_m+1/2, так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю. Следовательно, в точке В будет всегда наблюдаться интерференционный максимум (светлое пятно), соответствую­щий половине действия первой открытой зоны Френеля. Центральный максимум ок­ружен концентрическими с ним темными и светлыми кольцами, а интенсивность максимумов убывает с расстоянием от центра картины.

С увеличением радиуса диска первая открытая зона Френеля удаляется от точ­ки В и увеличивается угол j_m (см. рис. 3-3) между нормалью к поверхности этой зоны и направлением на точку В. В ре­зультате интенсивность центрального мак­симума с увеличением размеров диска уменьшается. При больших размерах диска за ним наблюдается тень, вблизи границ которой имеет место слабая дифракционная картина. В данном случае дифракцией света можно пренебречь и считать свет распространяющимся пря­молинейно.

Отметим, что дифракция на круглом от­верстии и дифракция на диске впервые рассмотрены Френелем.

 

3.5. Дифракция Фраунгофера на одной щели

Немецкий физик И. Фраунгофер (1787— 1826) рассмотрел дифракцию плоских све­товых волн, или дифракцию в параллель­ных лучах. Дифракция Фраунгофера наблюдается в том случае, когда источник света и точка наблюдения бесконечно уда­лены от препятствия, вызвавшего диф­ракцию. Для этого достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину иссле­довать в фокальной плоскости второй со­бирающей линзы, установленной за препятствием.

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от бесконечно длинной щели (для этого практически достаточно, чтобы длина ще­ли была значительно больше ее ширины). Пусть плоская монохроматическая свето­вая волна падает нормально плоскости узкой щели шириной MN = а (рис. 3-6, а). Опти­ческая разность хода между крайними лучами МС и ND, идущими от щели в произвольном направлении j,

,

где F — основание перпендикуляра, опу­щенного из точки М на луч ND.

Разобьем часть волновой поверхности в плоскости щели MN на зоны Френеля в виде полос, параллель­ных ребру М щели. Ширина каждой зоны выбирается таким образом, чтобы разность хода от краев этих зон была равна l/2. На ширине щели тогда уместится  зон.  (3-8)