Пример решения задачи 5

Схема балки показана на рисунке 15 а.

Исходные данные:

q = 40 кН / м; a = 0,5 м; P = qa/2; M = qa².

Решение .

Балка имеет два участка. Для построения эпюр Q и М, выполним последовательно два сечения, как показано на рисунке 15 а, рассматривая участки со свободного конца.

а)

                                                                              г) Сечение

б)

в)

Рисунок 15

На участке 1 при 0 ≤ z₁ ≤ 2a имеем

,

.

Вычислим характерные ординаты на границах участка:

, ;

, .

Поскольку поперечная сила Q на данном участке меняет знак, то определим координату сечения, в котором она равна нулю, и экстремальное значение момента M:

 или , следовательно, ,

тогда

.

На участке 2 при 0 ≤ z₂ ≤ a получим

,

                                           .

Вычислим характерные ординаты изгибающего момента на границах участка:

, .

Эпюры Q и М показаны на рисунке 15 б, в.

Из эпюры М видно, что опасным является сечение в заделке, в котором величина изгибающего момента максимальна, –

кНм.

Условие прочности для балки имеет вид

.

Из условия прочности определим требуемый момент сопротивления сечения:

м³.

Выразим момент сопротивления прямоугольного сечения через ширину b (рисунок 15 г)

.

Найдем требуемые размеры сечения из условия

м³,

тогда

м см.

Окончательно принимаем размеры сечения балки

b = 5,2 см и h = 2b = 10,4 см.

Вычислим прогиб на свободном конце балки графоаналитическим способом, используя на участке 1 формулу Симпсона

,

на участке 2 формулу Симпсона-Корнаухова

,

где М_р и М₁ – значения изгибающих моментов от внешних сил и от единичной силы соответственно на левой границе участка (л), на правой границе участка (п) и в середине участка (с).

а)

б)

в)

г)

Рисунок 16

Приложим на свободном конце силу, равную 1, и построим эпюру изгибающего момента М₁, как показано на рисунке 16 в. Перемножая эпюру М₁ спостроенной ранее эпюрой М_Р (рисунок 16 б) от заданных нагрузок, получим искомый прогиб:

Знак «минус» показывает, что вычисленный прогиб направлен противоположно единичной силе, то есть вниз.

Вычислим момент инерции  сечения балки

,

тогда числовое значение прогиба равно

Вычислим угол поворота свободного конца балки, используя тот же метод. Приложим на свободном конце момент, равный 1, и построим эпюру изгибающего момента М₂, как показано на рисунке 16 г. Перемножая эпюру М₂ спостроенной ранее эпюрой М_Р (рисунок 16 б) от заданных нагрузок, получим искомый угол поворота:

Знак «минус» показывает, что вычисленный угол поворота направлен противоположно единичному моменту, то есть против часовой стрелки.

Числовое значение угла поворота равно

.

Выводы.

1. Из построенных эпюр Q и М установлено, что наиболее опасным сечением балки является сечение в заделке, где , .

2. Из условия прочности подобраны размеры поперечного сечения балки в виде прямоугольника с размерами
b = 5,2 см и h = 10,4 см.

3. Для подобранной балки прогиб свободного конца равен 6,84 мм (направлен вниз), а угол поворота составил 5,56·10^-3 радиан (направлен против часовой стрелки).

Задача 6