Тема 6. Потенциальная энергия деформации

И общие методы определения перемещений

Задача об определении перемещений произвольно нагруженного бруса может быть решена методами, основанными на свойствах потенциальной энергии деформации упругих систем.

Метод Мора позволяет определить перемещения в общем случае нагружения бруса, когда в поперечных сечениях могут возникать одновременно все шесть внутренних силовых факторов. При вычислении перемещений в балках и плоских рамах можно пренебречь влиянием продольных и поперечных сил, учитывая лишь изгибающие моменты.

Например, для отыскания перемещения δ (прогиба или угла поворота) любого сечения балки при изгибе необходимо составить выражения изгибающего момента M_xP от заданных нагрузок и момента M_x1 от единичного фактора, приложенного в том сечении, где ищем перемещение. При этом для вычисления прогиба прикладываем единичную силу, а для определения угла поворота – единичный момент. Тогда интеграла Мора для вычисления искомого перемещения имеет вид:

.

Отметим, что интегрирование ведется по всей длине балки. Если балка делится на участки, то интеграл Мора представляется в виде суммы интегралов по всем участкам.

Если после вычисления интеграла перемещение δ получено со знаком "плюс", то его направление соответствует направлению единичного фактора, если со знаком "минус", то действительное перемещение δ направлено противоположно единичному фактору.

Если жесткость балки EJ_x постоянна по длине, то её можно вынести из под знака интеграла, а интеграл от произведения функций М_рМ₁ вычислить по участкам графоаналитическим способом, используя способ Верещагина или формулу Симпсона для криволинейных эпюр

или формулу Симпсона-Корнаухова для перемножения линейных эпюр:

,

где М_р и М₁ – значения изгибающих моментов от внешних сил и от единичной силы соответственно на левой границе участка (л), на правой границе участка (п) и в середине участка (с); вычисленные интегралы по участкам нужно сложить и разделить на жесткость при изгибе EJ_x .

После изучения тем 5 и 6 можно приступать к решению задач 5, 6.

Вопросы для самопроверки

1. Как вычислить потенциальную энергию деформации в общем случае нагружения бруса?

2. Как выглядят интегралы Мора для общего случая определения перемещения?

3. Запишите интеграл Мора для вычисления перемещений при изгибе.

4. В чем заключается правило Верещагина?

5. Как по знаку вычисленного перемещения определить его направление?

Тема 7. Метод сил.