Методические указания по выполнению задачи 8

Для выполнения данной задачи рекомендуется следующий порядок решения.

1. Определение главных напряжений и положения главных площадок.

Рассматриваемый элемент имеет одну грань полностью свободную от напряжений, следовательно, одно из главных напряжений равно нулю и имеет место плоское напряженное состояние. Если при этом главные напряжения, отличные от нуля, оба положительны, то σ₃ = 0, σ₁ > σ₂ > 0; если же одно из них положительно, другое отрицательно, то σ₂ = 0, σ₁ > 0, σ₃ < 0; если оба отрицательны, то σ₁ = 0, 0 > σ₂ > σ₃ .

Главные напряжения σ_max , σ_min по заданным напряжениям σ_x , σ_y , τ_xy определяются по формуле

.

Положение главных площадок находится из формулы

.

Так как одному и тому же тангенсу соответствуют два угла, отличающихся на 180^○, то из последней формулы определяются два направления α₁ и α₂ главных осей, отличающиеся на 90^○. Напряжение σ_max  действует в направлении оси, составляющей угол меньше 45^○ с осью, в направлении которой действует большее из заданных нормальных σ_x или σ_y напряжений.

Найденные аналитические значения главных напряжений и угла α сопоставляются со значениями, полученными при графическом решении задачи с помощью круга Мора.

2. Величина наибольшего касательного напряжения определяется по формуле

.

Действует оно на площадке, параллельной второй главной оси и образующей угол 45^○ с первой и третьей главными осями.

3. Значения линейных деформаций ε _x , ε _y , ε _z в направлении заданных осей x, y, z, величины главных деформаций ε₁, ε₂, ε₃  и максимальный угол сдвига γ_max вычисляются по зависимостям обобщенного закона Гука. При этом модуль сдвига определяется из соотношения

.

Объемную деформацию можно определить по формуле

.

4. Удельная потенциальная энергия ( u ) и ее составляющие: энергия изменения объёма ( u _об ) и энергия изменения формы ( u _ф ), – вычисляются по формулам:

,

,

.

5. Эквивалентное напряжение по энергетической теории прочности вычисляется по формуле

.

Задача 9

Расчет плоско-пространственной рамы

При совместном действии изгиба и кручения

Для заданной плоско-пространственной рамы (рисунок 23) требуется:

1) построить эпюры изгибающих и крутящих моментов, выразив все характерные ординаты через параметры интенсивности распределенной нагрузки "q" и длины "l";

2) установить опасное сечение и из условия прочности по энергетической теории определить диаметр круглого сечения, приняв [σ] = 160 МПа.

Данные взять из таблицы 13.

Таблица 13

№ строки	№ схемы						q, кН/м	l, м
1	10	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	2.0	0.5
2	9	1.5	1.5	1.5	1.5	1.5	1.0	0.6
3	8	2.0	2.0	2.0	2.0	2.0	1.5	0.7
4	7	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	2.2	0.8
5	6	1.5	1.5	1.5	1.5	1.5	1.7	0.9
6	5	2.0	2.0	2.0	2.0	2.0	1.6	0.5
7	4	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.8	0.6
8	3	1.5	1.5	1.5	1.5	1.5	1.4	0.7
9	2	2.0	2.0	2.0	2.0	2.0	1.2	0.8
0	1	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	1.3	0.9

Рисунок 23