Пример решения задачи 11

Схема стержня приведена на рисунке 31 а. Вид поперечного сечения показан на рисунке 31 б.

Исходные данные: l = 4 м, Р = 500 кН, с = 5 см.

 

а) Схема стержня          б) Вид поперечного сечения

          

Рисунок 31

 

Решение . Выпишем формулы для вычисления геометрических характеристик поперечного сечения заданного вида (рисунок 31 б):

- площадь сечения

,

здесь  – площадь сечения одного двутавра;

- моменты инерции относительно главных центральных осей

, ,

где ,  – моменты инерции одного двутавра;

- минимальный радиус инерции

,

где  – наименьший момент инерции из двух значений , ;

- гибкость стержня

,

где  – коэффициент приведенной длины для заданного условия закрепления стержня.

Задачу решаем методом последовательных приближений.

Приближение 1. .

Из условия устойчивости находим требуемую площадь сечения стержня:

.

Тогда требуемая площадь одного двутавра составляет

.

Из сортамента по ГОСТ 8239-89 (Приложение А) данной площади соответствует двутавр № 24 со следующими геометрическими характеристиками:

.

Вычислим главные центральные моменты инерции сечения стержня:

,

.

Из двух значений ,  минимальным является .

Вычислим минимальный радиус инерции сечения и гибкость стойки:

,

.

По таблице 16 коэффициентов j имеем:

- для l = 40 – j =0,92;

- для l = 50 – j =0,89.

Коэффициент j для l = 47 найдем линейной интерполяцией:

.

Поскольку  перейдем к следующему приближению.

Приближение 2. .

Повторим расчет в той же последовательности.

Из условия устойчивости находим требуемую площадь сечения стержня:

.

Требуемая площадь одного двутавра составляет

.

Данной площади соответствует двутавр № 18 со следующими геометрическими характеристиками:

.

Вычислим главные центральные моменты инерции сечения стойки:

, 

.

Как видно, .

Вычислим минимальный радиус инерции сечения и гибкость стойки:

,

.

По таблице 16 коэффициентов j имеем:

- для l = 50 – j =0,89;

- для l = 60 – j =0,86.

Коэффициент j для l = 55 найдем линейной интерполяцией:

.

Поскольку  перейдем к следующему приближению.

Приближение 3. .

Из условия устойчивости находим требуемую площадь сечения стойки:

.

Тогда требуемая площадь одного двутавра составляет

.

Данной площади соответствует двутавр № 16 со следующими геометрическими характеристиками:

.

Вычислим главные центральные моменты инерции сечения стержня:

, 

.

Как видно, .

Вычислим минимальный радиус инерции сечения и гибкость стойки:

,

.

По таблице 16 коэффициентов j имеем:

- для l = 60 – j =0,86;

- для l = 70 – j =0,81.

Коэффициент j для l = 61 найдем линейной интерполяцией:

.

Поскольку  выполним еще одно приближение.

Приближение 4. .

Из условия устойчивости находим требуемую площадь сечения стойки:

.

Тогда требуемая площадь одного двутавра составляет

.

Данной площади соответствует двутавр №16, который был получен также в предыдущем приближении. Окончательно принимаем сечение заданного стержня из двух двутавров №16, для которого

, l = 61, .

Проверим выполнение условия устойчивости для подобранного сечения:

,

.

Таким образом, условие устойчивости удовлетворяется:

.

Вывод.  Из условия  устойчивости для  заданного сжатого стержня (рисунок 31 а) подобрано поперечное сечение (рисунок 31 б) в виде двух двутавров №16 (ГОСТ 8239-89).

 

 

Рекомендуемая литература

    1. Авдеев В.И. Егодуров Г.С. Сопротивление материалов с примерами расчётов в среде MATHCAD.Учебное пособие.- Старый Оскол: ООО «ТНТ» 2016.-296 с.(15 экз. в НТБ СТИ НИТУ «МИСиС»)

2. Кравченко Н.В. Сопротивление материалов. Конспект лекций. Часть 1. 3-е изд., испр. – Старый Оскол, СТИ НИТУ МИСиС, 2011. – 97 с.

3. Авдеев В.И.Сопротивление материалов.Введение.

Растяжение и сжатие.Учебное пособие.Курс лекций.

[Текст]-Старый Оскол:СТИ НИТУ «МИСиС»,2012.-

97 с.-(95 экз. в НТБ СТИ НИТУ «МИСиС»)

4.Авдеев В.И.Сопротивление материалов. Сдвиг. .Кручение. Геометрические характеристики плоских сечений. Учебное пособие. - Старый Оскол, СТИ НИТУ «МИСиС», 2014.- 72 с.

5. Балясникова С.В., Волошановская Ю.Э., Гулин М.А. и др. / Сопротивление материалов: Электронное мультимедийное учебное пособие / Москва / МГОУ / 2007. – Режим доступа: http://www.iqlib.ru/search/result.visp.

6. Сопротивление материалов. Лабораторный практикум / В.И.Авдеев, О.Ф.Кравченко, Н.В.Кравченко. – Старый Оскол: ООО "ТНТ", 2007. – 108 с.

7. Миролюбов И.Н. и др. Сопротивление материалов: Пособие по решению задач. – СПб.: Издательство «Лань», 2004. – 512 с.