Теорема существования и единственности

Известно, какую большую роль в алгебре играют теоремы, отвечающие на вопрос о том, сколько решений имеет та или другая система алгебраических уравнении. В теории дифференциальных уравнений важным теоретическим вопросом является вопрос о том, насколько много решений имеет дифференциальное уравнение. Оказывается, что каждое дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, и потому приходится ставить вопрос не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решении данного дифференциального урав­нения. Ответ на этот вопрос дает теорема существования и единственности (теорема 1), которая в этом параграфе приводится без доказательства. Доказательство будет дано значительно позже (см. §12).

Теорема 1. Пусть  - дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что функция  задана на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных. . Относительно функции f будем предполагать, что она сама и ее частная производная  являются непрерывными функциями, на всем открытом множестве Г. Теорема утверждает

1) для всякой точки  множества Г найдется решение  уравнения (3), удовлетворяющее условию

 (4)

2) если два решения  и  уравнения (3) совпа­дают хотя бы для одного значения , т. е. если

то решения эти тождественно равны для всех тех значений переменного t, для которых они оба определены.

Числа называют начальными значениями для решения , а соотношение (4) — начальным условием для этого реше­ния. Говорят также, что решение  удовлетворяет начально­му условию (4) или же что оно имеет начальные значения . Утверждение, что решение  удовлетворяет начальному усло­вию (4) (или имеет начальные значения ), предполагает, что интервал  определения решения  содержит точку .

Таким образом, теорема 1 утверждает, что координаты любой точки  множества Г являются начальными значениями для некоторого решения уравнения (3) и что два решения с общими начальными значениями совпадают.

Геометрическое содержание теоремы 1 заключается в том, что через каждую точку  множества Г проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (3) (см. рис. 1).

Говоря, что через каждую точку  множества Г проходит «только одна» интегральная кривая, мы допускаем некоторую неточность. В самом деле, решением уравнения (3) называется функция , заданная на вполне определенном интервале . Наряду с этой функцией может существовать функция , также удовлетворяющая уравнению (3) и имеющая те же начальные значения , но заданная на другом интервале . Вторая часть теоремы 1 утверждает лишь, что функции  и  совпадают там, где они обе определены, но вовсе на утверждает, что интервалы их определения и одинаковы.

Если один из интервалов, например , полностью содержит другой, то мы будем говорить, что решение , заданное на интервале  является продолжением решения . Естественно сосредоточить все внимание на тех решениях, которые нельзя продолжить ни вправо, ни влево. Такие решения мы будем называть непродолжаемыми. Нетрудно доказать, что каждое решение может быть продолжено до непродолжаемого и при­том единственным способом. Если теперь подразумевать под интегральной кривой график непродолжаемого решения, то утверждение том, что через каждую точку  проходит единственная интегральная кривая, становится точным.

Каждое решение  уравнения (3) мы интерпретировали геометрически в виде графика функ­ции . Дадим теперь геометрическую интерпретацию самого уравнения (3). Через каждую точку множества Г проведем прямую  с угловым коэффициентом . Мы получаем поле направлений, соответствующее уравнению (3), что и дает геометрическую интерпретацию этого уравнения.

Связь между геометрической интерпретацией уравнения и геометрической интерпретацией его решений заключается в том (рис. 2), что любая интегральная кривая  в каждой своей точке  касается прямой .

Примеры:

1. Для того чтобы проиллюстрировать значение теоремы 1 (в данном случае второй ее части), решим дифференциальное уравнение

 (5)

где  - действительное число. Здесь

так что функция  в действительности зависит лишь от переменного х. Множество точек, на котором определена функция  , в данном случае совпадает со всей плоскостью Р. Как сама функция , так и ее производная  являются непрерывными функциями переменных t и x во всей плоскости Р. Таким образом, теорема 1 к уравнению (5) применима. Непосредственной подстановкой в уравнение (5) проверяется, что каждая функция

, (6)

где с — произвольное действительное число, является решением уравнения (5). Решение это непродолжаемо, так как оно задано уже на всей прямой . Покажем, что, придавая всевозможные значения числу с, мы получим все решения уравнении (5). Пусть  - произвольное решение этого уравнения. Покажем, что при надлежащем выборе числа с мы имеем . Пусть  - некоторая точка интервала существования решения  и . Положим . Тогда решения  и  уравнения (5) имеют одинаковые начальные значения  и потому в силу второй части теоремы 1 совпадают. Таким образом, формула (6) исчерпывает совокупность всех решений дифференциального уравнения (5).