Случай простых корней характеристического уравнения
А) Система дифференциальных уравнений (1) в векторной форме переписывается в виде:
(2)
Здесь , а вместо системы неизвестных функций введен неизвестный вектор
;
под производной вектора х понимается вектор . Если h есть собственный вектор матрицы А с собственным значением т.е. если
то векторная функция х, определяемая соотношением
,
является решением уравнения (2). Последнее утверждение проверяется путем подстановки в соотношение (2). Теорема 8. Пусть
(3)
- такая система дифференциальных уравнений (см. А.)), что собственные значения матрицы А попарно различны, и пусть
- соответствующие собственные векторы этой матрицы. Положим:
(4)
Тогда векторная функция
(5)
где – константы, является решением уравнения (3), и всякое решение уравнения (3) задается этой формулой. Доказательство. В силу предложения А) каждая функция представляет собой решение уравнения (3), и потому в силу предложения А) §4 формула (5) всегда дает решение уравнения (3). Докажем теперь, что всякое решение уравнения (3) может быть записано в виде (5). Пусть - произвольное решение уравнения (3). В силу теоремы 3 решение можно считать заданным на всей бесконечной прямой . Таким образом, решение это определено и при t = 0. Положим . Пусть
- разложение вектора по векторам базиса . Тогда решение х, определяемое формулой (5), очевидно, удовлетворяет начальным условиям
Тем же начальным условиям удовлетворяет и решение ; таким образом, в силу теоремы единственности (см. теорему 2), . Итак, теорема 8 доказана. В случае, если матрица , задающая уравнение (3), действительна, перед нами встает задача выделения из всех решений (5) действительных решений. Б) Будем считать, что матрица , задающая уравнение (3), действительна, и выберем векторы таким образом, чтобы действительным собственным значениям соответствовали действительные векторы, а комплексно сопряженным – комплексно сопряженные. Тогда в системе решений (4) каждому действительному собственному значению будет соответствовать действительное решение, а каждым двум комплексно сопряженным собственным значениям будут соответствовать комплексно сопряженные решения. Оказывается, что решение (5) тогда и только тогда действительно, когда константы, стоящие при действительных решениях, действительны, а константы, стоящие при комплексно сопряженных решениях, сопряжены. Общий случай Перейдем теперь к решению системы (1) в общем случае (матрица может иметь кратные собственные значения). Разбор этого случая опирается на весьма нетривиальную и сложно доказуемую алгебраическую теорему о приведении матрицы к жордановой форме. В) Запишем систему (1) в векторной форме
(6)
и пусть
- некоторая серия с собственным значением относительно матрицы А, так что выполнены соотношения
Введем последовательность векторных функций, положив:
(7)
Оказывается тогда, что векторные функции (8)
являются решениями уравнения (6), причем
(9)
Таким образом, каждой серии из k векторов соответствует система из k решений. Для доказательства того, что векторные функции (8) являются решениями уравнения (6), укажем два тождества относительно векторных функций (7). Тождества эти следующие:
В этих соотношениях принято . Оба они проверяются непосредственно путем проведения элементарных вычислений. При помощи этих тождеств непосредственно проверяется, что функции (8) являются решениями уравнения (6). Действительно, мы имеем:
Перейдем теперь к формулировке и доказательству теоремы, дающей решение системы (1) в общем случае. Теорема 9. Пусть
(10) - векторная запись системы (1). Существует базис , состоящий из серий относительно матрицы А. Для определенности будем считать, что есть серия с собственным значением ; есть серия с собственным значением ; и т.д. В силу предложения В) каждой из серий соответствует система решений, так что мы можем выписать следующие решения уравнения (10):
(11)
Оказывается, что формула
(12)
где – константы, всегда дает решение уравнения (10) и что каждое решение уравнения (10) описывается формулой (12). Доказательство. Так как функции являются решениями уравнения (10) (см. В)), то в силу предложения А) §4 формула (12) всегда дает решение уравнения (10). Покажем, что всякое решение уравнения (10) при надлежащем подборе констант записывается в виде (12). Пусть - произвольное решение уравнения (10). В силу теоремы 3 решение можно считать заданным на всей прямой , и потому вектор определен. Разложим этот вектор по базису :
Если теперь подставить найденные константы в соотношение (12), то мы получим решение , удовлетворяющее начальным условиям
(см. (9)). Таким образом, решения и имеют общие начальные значения и потому совпадают. Итак, теорема 9 доказана. Теперь нам осталось выделить из решений, заданных формулой (12), действительные решения в случае, когда матрица действительна. Делается это совершенно так же, как и в случае простых корней характеристического уравнения.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (318)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |