Вспомогательные предложения
Для того чтобы непринужденно пользоваться векторными обозначениями, установим прежде всего некоторые естественные определения и простые неравенства для векторов и векторных функций. Длина или модуль вектора (2), как известно, определяется формулой
. Известно и без труда доказывается, что если х и у суть два вектора, то имеет место неравенство
.
Из этого неравенства следует аналогичное неравенство и для произвольного числа векторов именно:
(4)
Пусть — непрерывная векторная функция действительного переменного t, т. е. вектор, координаты которого являются непрерывными функциями переменного t. Если функция определена на интервале , то при на том же интервале можно определить векторную функцию
,
задав компоненты вектора формулами
;
при этом имеет место неравенство . (5)
Установим еще одно неравенство для векторной функции
векторного переменного х, заданной на выпуклом множестве пространства переменных . Предположим, что имеют место неравенства:
,
где К — положительное число. Оказывается тогда, что для двух любых точек х и у множества выполнены неравенства
. (6)
Так же, как при доказательстве теоремы 1, от дифференциального уравнения (3) перейдем к интегральному. А) Пусть — некоторое решение дифференциального уравнения (3), так что выполнено тождество
(7)
и пусть (8)
— начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что совокупность соотношений (7) и (8) эквивалентна одному соотношению
(9)
Докажем это. Допустим, что выполнено интегральное тождество (9). Подставляя в него , получаем равенство (8), а дифференцируя его по t, получаем тождество (7). Допустим теперь, что выполнены соотношения (7) и (8). Интегрируя соотношение (7) в пределах от и и принимай во внимание соотношение (8), мы получаем соотношение (9). Б) Пользуясь правой частью тождества (9), каждой векторной функции , график которой проходит в множестве Г, поставим в соответствие функцию , положив:
. (10)
Кратко, в операторной форме то же соотношение запишем в виде:
. (11)
Уравнение (9) теперь может быть записано в виде:
. (12) В) Пусть — непрерывная векторная функция, заданная на отрезке . Определим норму этой функции, положив:
Пользуясь понятием нормы, можно формулировать определение равномерной сходимости последовательности
(13)
непрерывных векторных функций, заданных на отрезке . Последовательность (13) векторных функций равномерно сходится к непрерывной функции , заданной на том же отрезке , если
.
Для того чтобы последовательность (13) равномерно сходилась, достаточно, чтобы были выполнены неравенства
где числа образуют сходящийся ряд. Прейдем теперь к доказательству теоремы 2.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (199)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |