Доказательство теоремы 1
Начальные значения и искомого решения уравнения (1) являются координатами точки , лежащей в множестве Г. Выберем прежде всего какой-либо прямоугольник П с центром в точке со сторонами, параллельными осям, целиком вместе со своей границей содержащихся в множестве Г (рис. 17). Длину горизонтальной (параллельной оси t) стороны прямоугольника П обозначим через 2q, а длину вертикальной стороны – через 2а. Таким образом, точка тогда и только тогда принадлежит прямоугольнику П, когда выполнены неравенства:
, (12)
Так как прямоугольник П есть замкнутое множество, содержащееся в Г, то непрерывные на нем функции f и ограничены, и потому существуют такие положительные числа М и К, что для t и x, удовлетворяющих условиям (12), выполнены неравенства
, (13)
Наряду с прямоугольником П будем рассматривать более «узкий» прямоугольник , определяемый неравенствами
, (14)
где
(см. рис. 17). Более точно число r определим далее. Обозначим через семейство всех непрерывных функций, заданных на отрезке , графики которых проходят в прямоугольнике . Таким образом, функция , определенная на отрезке , тогда и только тогда принадлежит семейству , когда для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство
(15)
Постараемся теперь выбрать число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия: а) Если функция принадлежит семейству , то функция (см. (5), (6)) также принадлежит семейству . б) Существует такое число что для любых двух функций и семейства имеет место неравенство
(16)
Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция принадлежала семейству необходимо и достаточно, чтобы при было выполнено неравенство
В силу (5) и (13) мы имеем:
Из этого видно, что при (17)
условие а) выполнено. Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:
, .
Вычитая второе равенство из первого, получаем:
(18)
Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь формулой Лагранжа и вторым из неравенств (13):
; (19)
здесь – число, заключенное между и и, следовательно, удовлетворяющее неравенству . Из (18) и (19) следует:
Таким образом, условие б) выполнено, если число меньше единицы, т. е. если
(20)
Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (14), (17) и (20), то для семейства выполнены условия а) и б). В дальнейшем будем считать число r выбранным таким образом, что неравенства (14), (17) и (20) для него выполнены. Построим теперь последовательность
(21)
функций, определенных на отрезке , положив:
(22) (23)
Так как функция (22) принадлежит семейству , то и все функции последовательности (21) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее, мы имеем (см. (15)):
В силу (16) получаем:
, откуда
Таким образом, и силу В), последовательность (21) равномерно сходится на отрезке к некоторой непрерывной функции . Так как все функции последовательности (21) принадлежат семейству то и функция принадлежит ему (см. (15)). Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (7). Для этого заметим, что последовательность
равномерно сходится к функции ; действительно, мы имеем:
.
Переходя в соотношении (23) к пределу при , получаем:
Итак, существование решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (3), доказано; при этом установлено, что решение определено на интервале , где r – произвольное число, удовлетворяющее неравенствам (14), (17) и (20). Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть и - два решения уравнения (1) с общими начальными значениями , и — интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений и ; очевидно, что . Покажем, что если решения и совпадают в некоторой точке интервала , то они совпадают и на некотором интервале , где r – достаточно малое положительное число. Положим ; тогда величины , могут быть приняты за начальные значения обоих решений и . В этом смысле точка ничем не отличается от точки , и поэтому мы сохраним за точкой обозначение : это позволит нам сохранить и другие прежние обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (1) к интегральному уравнению (4), мы получаем для обеих функций и интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде:
. (24)
Выберем теперь, как и прежде, в открытом множества Г прямоугольник П с центром в точке , а затем прямоугольник таким образом, чтобы число r кроме неравенств (14), (17), (20) удовлетворяло еще тому условию, что при функции и определены и удовлетворяют неравенствам
Это возможно, так как функции и непрерывны. Тогда функции и , рассматриваемые на отрезке , входят в семейство , и, следовательно, в силу неравенства (16) и соотношений (24) получаем: ,
а это возможно только тогда, когда , т.е. когда функции и совпадают на отрезке . Докажем теперь, что функции и совпадают на всем интервале . Допустим противоположное, именно, что существует точка интервала , для которой . Ясно, что . Для определенности будем считать, что Обозначим через N множество всех тех точек отрезка , для которых , и докажем, что множество N замкнуто. В самом деле, пусть – последовательность точек множества N, сходящаяся к некоторой точке . Тогда , и потому, в силу непрерывности функций и ,
,
т.е. точка также принадлежит множеству N. Обозначим через точную верхнюю грань множества N. Так как N замкнуто, то принадлежит этому множеству, т. е. ; следовательно, . Но тогда, в силу ранее доказанного, функции и должны совпадать на некотором интервале , и точка не может быть точной верхней гранью множества N. Таким образом, мы пришли к противоречию. Итак, теорема 1 доказана. Пример Для весьма простого уравнения найдем решение методом последовательных приближений. Решение будем искать с начальными значениями Соответствующее интегральное уравнение запишется в виде: Будем строить теперь последовательность Мы имеем:
, , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пределом этой последовательности (равномерно сходящейся на любом отрезке числовой оси) является функция .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (187)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |