Линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами (случаи кратных корней)

Если характеристический многочлен

уравнения

 (1)

(см. § 5, А)) имеет кратные корни, то среди функций вида  нельзя найти n различных решений уравнения (1). Для нахождения в этом случае решений другого вида можно воспользоваться следующим наводящим соображением. Пусть и  — два различных действительных корня характеристического многочлена L(р); тогда функция  является решением уравнения (1). Если теперь предположить, что при изменении коэффициентов многочлена L (р) число  стремится к , то это решение переходит (в пределе) в функцию , о которой естественно предположить, что они являются решением уравнения (1) и случае, если , есть двукратный корень многочлена L (р). Аналогично мы приходим к догадке, что если  есть k-кратный корень характеристического многочлена L (р), то решениями уравнения (1) являются все функции:

.

Распространяя эту догадку на случай комплексных кратных корней, мы приходим к предположению о справедливости нижеследующей теоремы (являющейся обобщением теоремы 4):

Теорема 5. Пусть

 (2)

— линейное однородное уравнение порядка n с постоянными коэф­фициентами. Пусть, далее,  - совокупность всех попарно различных корней характеристического многочлена L(р) уравнения (2), причем корень  имеет кратность , так что . Положим:

 (3)

Тогда все функции (3) являются решениями уравнения (2), так что при любых комплексных постоянных  функция

 (4)

также является решением этого уравнения. Решение это является общим в том смысле, что каждое решение уравнения (2) может быть получено по формуле (4) при надлежащем выборе констант . При этом константы  однозначно определяются для каждого данного решения z.

Заметим, что функции (3) определены на всей числовой прямой .

Отметим одно очевидное следствие теоремы 5.

А) Каждое решение z(t) уравнения (2) может быть записано в виде:

где  есть многочлен степени, не превосходящей числа , . При этом многочлены  определены однозначно решением z(t), так как их коэффициенты являются константами интегрирования , которые в силу теоремы 5 определены решением z(t) однозначно.

Если коэффициенты уравнения (2) действительны, то перед нами стоит задача выделения из совокупности комплексных решений уравнения (2) его действительных решений.

Б) Будем считать, что коэффициенты характеристического многочлена L(р) уравнения (2) действительны. Пусть  — некоторый корень многочлена L(р) кратности k; тогда при  функ­ция  является решением уравнения (2). Если корень  действи­тельный, то функция  действительна, если же корень  комплекс­ный, то наряду с решением  имеется комплексно-сопряженное ему решение , так как  есть корень кратности k многочлена L(р). Таким образом, в системе решений (3) наряду с каждым комплексным решением имеется сопряженное с ним решение. Для того чтобы решение (4) было действительным, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при действительных решениях были действительными, а коэффициенты у попарно сопряженных комплексных решений были попарно сопряжены.

Примеры

1. Решим уравнение

Уравнение это может быть записано в виде (2), где характеристический многочлен L(р) имеет вид:

Корнями этого многочлена служат числа

имеющие кратности  Поэтому в силу теоремы 5 система решений (3) для рассматриваемого уравнения имеет вид:

Общее решение дается формулой

2. Решим уравнение

Характеристический многочлен равен ; его корнями (двукратными) являются числа . Общее решение рассматриваемого уравнения записывается в виде: